Page 138 - MATINF Nr. 13-14

˘
138 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

M 218. Determinat ,i funct ,ia g : R → R cu proprietatea c˘a graficul s˘au admite o asimptot˘a
a
orizontal˘ s , i
g(x) + g (x + g(x)) = 1, ∀ x ∈ R.

Cristinel Mortici, Viforˆata

Solut ,ie. Fie funct , ia f : R → R definit˘ prin f(x) = x + g(x), pentru orice x ∈ R.
a
Folosind s , i identitatea din ipotez˘a, avem

f (f(x)) = f(x) + g (f(x)) = x + g(x) + g (x + g(x)) = x + 1, ∀ x ∈ R.

Atunci f(x + 1) = f (f (f(x))) = f(x) + 1, adic˘a x + 1 + g(x + 1) = x + g(x) + 1, deci
g(x + 1) = g(x), pentru orice x ∈ R.
Astfel funct , ia g este periodic˘a. Cum, conform ipotezei, exist˘a lim g(x) ∈ R sau exist˘a
x→∞
lim g(x) ∈ R, rezult˘a c˘a funct , ia g este constant˘a. Folosind identitatea din ipotez˘a, obt , inem
x→−∞
1
c˘ g(x) = , pentru orice x ∈ R.
a
2
M 219. Fie n ∈ N, n ≥ 4.

a
a) Determinat ,i cea mai mic˘ constant˘ K n pentru care inegalitatea
a
Å ã 2
1 1 1 (a 1 − a n )
2
(a 1 + a 2 + . . . + a n ) + + . . . + ≤ n + K n ·
a 1 a 2 a n a 1 a n
are loc pentru orice numere reale a 1 ≥ a 2 ≥ . . . ≥ a n > 0.
a
b) Determinat ,i cea mai mare constant˘ C n pentru care inegalitatea
1 1 1 (a 1 − a n )
Å ã 2
2
(a 1 + a 2 + . . . + a n ) + + . . . + ≥ n + C n ·
a 1 a 2 a n a 1 a n
are loc pentru orice numere reale a 1 ≥ a 2 ≥ . . . ≥ a n > 0.
a
c) Determinat ,i cea mai mare constant˘ Λ n pentru care inegalitatea
1 1 1 (a n−1 − a n )
Å ã 2
2
(a 1 + a 2 + . . . + a n ) + + . . . + ≥ n + Λ n ·
a 1 a 2 a n a n−1 a n
are loc pentru orice numere reale a 1 ≥ a 2 ≥ . . . ≥ a n > 0.

Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

a
a
Solut ,ie. a) F˘ar˘ a restrˆange generalitatea, putem presupune c˘ a n = 1.
a
Dac˘ a 1 = 1, atunci inegalitatea este adev˘arat˘a. Fie a 1 = v > 1 fixat.
Å ã 2
1 1 (v − 1)
2
Evident, funct , ia H (a 2 , . . . , a n−1 ) = (a 1 + . . . + a n ) + . . . + − n − K n ·
a 1 a n v
a
este strict convex˘ ˆın raport cu fiecare variabil˘a. Astfel valoarea sa maxim˘ este atins˘ ˆın vˆarfuri
a
a
ale cubului [1, v] n−2 . Mai mult, H este simetric˘a. Atunci este suficient s˘a calcul˘am valorile ˆın
urm˘atoarele puncte: (1, . . . , 1), (1, . . . , 1, v), . . . , (1, v, , . . . , v) s , i (v, v, . . . , v). Astfel avem
k (v − 1)
Å ã 2
2
a
(kv + n − k) + n − k − n ≤ K n · , adic˘ k(n − k) ≤ K n , k = 1, n − 1.
v v