Page 140 - MATINF Nr. 13-14

˘
140 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a XII-a

a
M 220. Se consider˘ mult ,imea
2 2

M = x + 8y | x, y ∈ N
s , i fie n un num˘ar natural.

S˘ se arate c˘ dac˘ 200n ∈ M, atunci s , i 804n ∈ M.
a
a
a
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

2
2
2
a
Solut ,ie. Fie n ∈ N a.ˆı. 200n ∈ M. Atunci 200n = x + 8y , cu x, y ∈ N. Rezult˘ c˘ x = M8,
a
2
2
2
2
deci x = M4. Fie x = 4a, a ∈ N. Atunci 200n = 16a + 8y , adic˘a 25n = 2a + y , deci
2
2
2
2
2
2
2a + y = M5. Cum a , y ∈ {M5, M5 ± 1}, deducem c˘a a = M5 s , i y = M5, deci a = 5b
2
2
2
2
2
2
s , i y = 5z, cu b, z ∈ N. Atunci 25n = 50b + 25z , adic˘a n = 2b + z . Astfel 4n = (2z) + 8b ,
deci 4n ∈ M.
ˆ
a
a
Demonstr˘am c˘ mult , imea M este parte stabil˘ ˆın raport cu ˆınmult , irea. Intr-adev˘ar, pentru
2
2
2
2
orice x + 8y , u + 8v ∈ M, unde x, y, u, v ∈ N avem
2
2
2
2
2
2
x + 8y 2 u + 8v 2 = (ux − 8vy) + 8(vx + uy) = |ux − 8vy| + 8(vx + uy) ∈ M.
2
2
Cum 4n ∈ M s , i 201 = 13 + 8 · 2 ∈ M, rezult˘a c˘ 804n = 201 · 4n ∈ M.
a
M 221. Fie polinomul f ∈ R[X],
4
2
3
2
f = X + 8mX + 24mX + (m + 6) X + 1, unde 0 ≤ m ≤ 1.
Ar˘atat ,i c˘ polinomul f are exact dou˘ r˘ad˘acini reale.
a
a
Marin Chirciu, Pites , ti
Solut ,ia 1. Fie x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ C r˘ad˘acinile polinomului f. Folosind Relat ,iile lui Vi´ete, avem
! 2
4 4
X 2 X 2 X X X
(x i − x j ) = 3 x − 2 x i x j = 3 x i − 8 x i x j
i
1≤i<j≤4 i=1 1≤i<j≤4 i=1 1≤i<j≤4
2
= 3 · 64m − 8 · 24m = 192m(m − 1) ≤ 0.
P 2
Dac˘a m ∈ (0, 1), atunci (x i − x j ) < 0, deci, de exemplu, x 1 ∈ C \ R s , i astfel s , i
1≤i<j≤4
x 2 = x 1 ∈ C \ R.
P 2
Dac˘ m ∈ {0, 1}, atunci (x i − x j ) = 0 s , i presupunˆand c˘ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R ar rezulta
a
a
1≤i<j≤4
c˘a x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = −2m, contradict , ie cu x 1 x 2 x 3 x 4 = 1. Din nou, de exemplu, x 1 ∈ C \ R
s , i x 2 = x 1 ∈ C \ R.
a
Prin urmare polinomul f are cel mult dou˘ r˘ad˘acini reale, pentru orice m ∈ [0, 1].