Page 146 - MATINF Nr. 13-14

˘
146 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a X-a

M 250. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale pozitive sistemul de ecuat , ii

a(bc + 1) b(ac + 1) c(ab + 1) abc(a + b + c − 1)

 + + =
3
3
2 2
3
2 2
3
3
2 2
b + c + b c + 3 a + c + a c + 3 a + b + a b + 3 2 .
3

ab + ac + bc + 6 = 9abc
Cosmin Manea, Pites , ti
M 251. Fie a, b, c > 0 astfel ˆıncˆat abc = 1. Demonstrat , i c˘a
1 1 1
+ + ≤ 1.
a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1

Cˆand are loc egalitatea?

Mih´aly Bencze, Bras , ov

M 252. Determinat , i tripletele (a, b, c) de numere complexe nenule cu propriet˘at , ile

a b c
|a| = |b| = |c| s , i + + ∈ R.
b c a

Marin Ionescu, Pites , ti

M 253. Se consider˘a funct , ia f : C → C,

5
8
9
6
7
4 2
3
10
2
f(x) = (1 + x + x + x + x ) + x + 2x + 2x + 2x + 2x + x .
a
a) Ar˘atat , i c˘a dac˘ x ∈ R, atunci f(x) este un num˘ar real pozitiv.
b) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor complexe ecuat , ia f(x) = 0.
Ionel Tudor, C˘alug˘areni

◦
a
M 254. Fie k ≥ 1 un num˘r real. Stabilit , i natura triunghiului ABC, s , tiind c˘ m(^A) = 60 s , i
a
1 1 2
+ = .
AB k AC k BC k

Marin Chirciu, Pites , ti