Page 147 - MATINF Nr. 13-14

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 147

Clasa a XI-a

M 255. Fie A ∈ M n (C) o matrice nilpotent˘ s , i B ∈ M n (C) astfel ˆıncˆat
a

2
AB + BA − B = 2A − A.

Ar˘atat , i c˘a B = A.

Florin St˘anescu, G˘aes , ti

M 256. Fie A ∈ M 3 (C) astfel ˆıncˆat det(A − I 3 ) = 2023, det A = 2024 s , i det(A + I 3 ) = 2025.

a) Dat , i exemplu de o matrice A ∈ M 3 (Z) care verific˘a ipoteza.
2
b) Ar˘atat , i c˘a det (A + 2024A + I 3 ) este un num˘ar natural p˘atrat perfect.

Sorin Ulmeanu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

n
M 257. Fie (a n ) un s , ir de numere reale astfel ˆıncˆat a n > 2 , pentru orice n ∈ N.
n∈N
Demonstrat , i c˘a mult , imea

m n
ß ™
A = − m, n ∈ N
a n a m
este dens˘a ˆın R.

Cristinel Mortici, Viforˆata

√ Ä √ ä
M 258. a) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f : R → R, f(x) = 2 sin x − cos x 2 nu este periodic˘a.

b) Fie a, b ∈ R. Cˆate solut , ii reale are ecuat , ia a sin bx = b cos ax?

Sorin Ulmeanu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

M 259. Fie 0 < m < M s , i f : R → [m, M] o funct , ie continu˘a, neconstant˘a s , i periodic˘a, de
perioad˘ T ∈ R + \ Q.
a
n
X f(k)
Studiat , i convergent , a s , irului a n = ln , n ≥ 1.
M
k=1

Marin Ionescu, Pites , ti