Page 142 - MATINF Nr. 13-14

˘
142 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

M 224. a) Determinat ,i cea mai mare constant˘ real˘ k pentru care inegalitatea
a
a
√
2
6 abcd + k(a − d) ≤ ab + ac + ad + bc + bd + cd (5)
are loc pentru orice numere reale a ≥ b ≥ c ≥ d > 0.

1
b) Demonstrat , i c˘a dac˘a 4d ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d > 0 s , i k = , atunci inegalitatea (5) este
3
adev˘arat˘a.

c) Fie n ∈ N, n ≥ 4. Determinat , i cea mai mare constant˘ K n pentru care inegalitatea
a
Ã
n
Y X
2
2
n(n − 1) n a + K n (a n−1 − a n ) ≤ 2 a i a j
i
i=1 1≤i<j≤n
are loc pentru orice numere reale a 1 ≥ a 2 ≥ . . . ≥ a n > 0.
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

Solut ,ie. a) Fix˘am k. Fie b = c = d = x ∈ (0, 1) s , i a = 1. Avem
√
2
2
6 x + k(1 − x) ≤ 3x + 3x, ∀ x ∈ (0, 1),
3
Ä √ ä
2
3
deci lim 6 x + k(1 − x) 2 ≤ lim (3x + 3x), adic˘a k ≤ 0.
x&0 x&0
a
Cum pentru k = 0 inegalitatea (1) devine chiar Inegalitatea mediilor, rezult˘a c˘ max k = 0.
b) Datorit˘a omogenit˘at , ii, putem presupune c˘a d = 1. Atunci 4 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ 1 s , i
inegalitatea (1) devine

√ 1
2
6 abc + · (a − 1) ≤ ab + bc + ca + a + b + c, (2).
3
a
Dac˘ a = 1, atunci a = b = c = 1 s , i inegalitatea (2) devine egalitate.
Fix˘am 4 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ 1, cu a > 1. Consider˘am toate numerele reale 4 ≥ x ≥ y ≥ z ≥ 1
astfel ˆıncˆat x + y + z = a + b + c s , i xy + yz + zx = ab + bc + ca.

Deci x + y + z s , i xy + yz + zx au valori fixate. Not˘am

4 − x = X, 4 − y = Y, 4 − z = Z.

Evident, 0 ≤ X ≤ Y ≤ Z ≤ 3.
Mai mult, X + Y + Z = p s , i XY + Y Z + ZX = q au valori fixate. Avem

xyz = (4 − X)(4 − Y )(4 − Z) = 64 − 16(X + Y + Z) + 4(XY + Y Z + ZX) − XY Z.

As , adar, xyz este maxim dac˘ s , i numai dac˘ XY Z este minim. Dar, conform Teoremei variabilelor
a
a
egale (a se vedea referint , a din rezolvarea problemei M 219), XY Z este minim fie dac˘a (∃)!
2
2
0 < V ≤ U astfel ˆıncˆat 2U + V = p s , i U + 2UV = q s , i min XY Z = U V , fie dac˘a X = 0. S˘a
remarc˘am c˘ ˆın primul caz este cunoscut c˘ U ≤ Z. Deci, cu alte cuvinte, 0 < V ≤ U ≤ 3.
a
a