Page 144 - MATINF Nr. 13-14

˘
144 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

√ √
Not˘am n x = u s , i n y = v. Atunci inegalitatea anterioar˘ devine
a
n
n n
2n
n
v ≥ K n (u − 1) , pentru v ≥ u.
(n−2)(n−3)u +2(n−2)u v +2(n−2)u +2v −n(n−1)u 2n−4 2 n 2
n
n
2n
n n
Consider˘am funct , ia f(v) = (n−2)(n−3)u +2(n−2)u v +2(n−2)u +2v −n(n−1)u 2n−4 2
v ,
v ≥ u. Avem
0
f (v) n n−2 n−2 2n−4
= (n − 2)u v + v − (n − 1)u .
2nv
n n−2
Evident, funct , ia g(v) = (n − 2)u v + v n−2 − (n − 1)u 2n−4 este strict cresc˘atoare pentru v ≥ u.
g(u)
n
n
Dar = (n − 2)u + 1 − (n − 1)u n−2 . Deoarece u ≥ 1, avem (n − 2)u ≥ (n − 2)u n−1 .
u n−2
De asemenea, conform Inegalit˘at ,ii mediilor, (n − 2)u n−1 + 1 − (n − 1)u n−2 ≥ 0. Prin urmare,
0
f (v) ≥ 0 pentru orice v ≥ u, deci min f = f(u). Astfel inegalitatea invocat˘a se reduce la
2
n
f(u) ≥ K n (u − 1) .
a
Pentru u = 1, aceasta este adev˘arat˘ pentru orice K n .
f(u)
Pentru u > 1, obt , inem 2 ≥ K n , adic˘a
n
(u − 1)
n
(n − 2)u 2n + 2u − nu 2n−2
(n − 1) · ≥ K n .
n
(u − 1) 2
a
Aplicˆand de dou˘ ori Regula lui L’Hˆopital, avem
n
(n − 2)u 2n + 2u − nu 2n−2 (n − 1)(n − 2)
lim(n − 1) · = .
n
u&1 (u − 1) 2 n
Vom ar˘ata c˘a pentru u > 1 avem
n
(n − 2)u 2n + 2u − nu 2n−2 (n − 1)(n − 2)
(n − 1) · > ,
(u − 1) 2 n
n
a
adic˘
2n n 2n−2 n 2
h(u) = n (n − 2)u + 2u − nu − (n − 2) (u − 1) ≥ 0.
ˆ a 0 n n−2 +2 ≥ 0, adev˘arat, conform Inegalit˘t ,ii
a
Intr-adev˘r, h (u) ≥ 0 este echivalent cu (n−2)u −nu
mediilor. Astfel, min h = h(1) = 0. Prin urmare,
n
(n − 2)u 2n + 2u − nu 2n−2 (n − 1)(n − 2)
inf(n − 1) · = .
n
u>1 (u − 1) 2 n
(n − 1)(n − 2)
ˆ .
In concluzie, max K n =
n