Page 137 - MATINF Nr. 13-14

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 137

ˆ a
In ecuat , ia obt , inut˘ privim pe a ca variabil˘a, iar c > 0 este un parametru real. Discriminantul
2
c (−3 + tg B)
2
ecuat , iei este ∆ = 4c . Obt , inem solut , iile a 1 = −c, care nu convine s , i a 2 = .
2
1 − tg B
√
2
2
b a + 4ac + 3c 2 c (−3 + tg B)
Mai departe, din tg C = = s , i a = , prin ˆınlocuire s , i
2
a − c a − c 1 − tg B
efectuˆand calculele, obt , inem

tg B √
 arctg , dac˘ B 6= arctg 2
a


2
tg B − 2
C = .
 π √
a
 , dac˘ B = arctg 2

2
p
2
2bc c (a + c)(a + 3c) c (−3 + tg B)
a
a
Din tg A = = s , i a = rezult˘ c˘
2
a + b − c 2 (a + c) 2 1 − tg B
2
2
2
tg B (tg B − 1)
A = arctg .
2
tg B(tg B−1) tg B(tg B−1)
2
2
A arctg
c) lim = lim 2 = lim 2 = 1.
B→π C B→π arctg tg B B→π tg B
2
2
B<π B<π tg B−2 B<π tg B−2
M 217. Studiat ,i convergent ,a s , irului (a n ) n≥1 definit prin
n
Y
a n = sin(1 + cos k), ∀ n ≥ 1.
k=1
Ionel Tudor, C˘alug˘areni s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
n
Q ∗
Solut ,ie. Avem a n = b k , unde b k = sin(1 + cos k), pentru orice k ∈ N .
k=1
∗
Evident, 0 ≤ 1 + cos k ≤ 2 < π, deci 0 ≤ b k ≤ 1, pentru orice k ∈ N . Astfel s , irul (a n ) n≥1
are termenii nenegativi s , i este descresc˘ator.
∗
Pentru orice k ∈ N avem
cos (cos(k + 2) − cos k) − cos (2 + cos k + cos(k + 2)) 1 − cos t k
b k b k+2 = ≤ ,
2 2
unde t k = 2 + cos k + cos(k + 2) = 2 + 2 cos 1 cos(k + 1).
Evident, t k ≥ 0. Cum cos 1 > 0, notˆand 2 + 2 cos 1 = α rezult˘ c˘ t k ≤ α.
a
a
Folosind inegalitatea sin x < x oricare ar fi x > 0, avem
π π

α = 2 + 2 sin − 1 < 2 + 2 − 1 = π.
2 2
1 − cos α
∗
Din 0 ≤ t k ≤ α < π rezult˘ cos t k ≥ cos α, deci b k b k+2 ≤ < 1, pentru orice k ∈ N .
a
2
∗
Astfel pentru orice n ∈ N avem
Å ã n
1 − cos α
0 ≤ a 2n+1 ≤ a 2n ≤ ,
2
deci aplicˆand Criteriul cles , telui rezult˘ c˘ s , irul (a n ) n≥1 converge c˘atre 0.
a
a