Page 94 - MATINF Nr. 11-12

˘
94 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

M 189. Demonstrat ,i c˘ ˆın orice triunghi ABC are loc inegalitatea
a

X Y
l a l a
− ≤ 2.
h a h a

Daniel Jinga, Pites , ti

Solut ,ia 1. Folosind notat , ii s , i formule uzuale, avem

2bc
cos A A A A
l a b + c 2 abc cos 2 4RS cos 2 2 cos 2 1
= = = = B+C B−C = B−C .
h a 2S S(b + c) 2RS(sin B + sin C) 2 sin cos cos
2 2 2
a
1 1
P Q
a
Astfel inegalitatea din enunt , devine − ≤ 2, care, folosind c˘
cos B−C cos B−C
2 2
A − B B − C C − A π π
, , ∈ − , ,
2 2 2 2 2

poate fi rescris˘ sub forma
a
B − C C − A C − A A − B A − B B − C
cos cos + cos cos + cos cos − 1
2 2 2 2 2 2
B − C C − A A − B
≤ 2 cos cos cos .
2 2 2

B − C C − A C − A A − B A − B B − C
ˆ a cos +cos cos +cos cos −1 ≤
Intr-adev˘r, avem cos
2 2 2 2 2 2
B − C C − A A − B 3 + cos(B − C) + cos(C − A) + cos(A − B) − 2
cos 2 +cos 2 +cos 2 −1 = =
2 2 2 2
B − C C − B B + C − 2A B − C Å C − B B + C − 2A ã
cos 2 + cos cos = cos cos + cos =
2 2 2 2 2 2
B − C C − A A − B
2 cos cos cos , ceea ce trebuia demonstrat.
2 2 2
Solut ,ia 2. (Titu Zvonaru, Com˘anes , ti). Folosind notat , ii s , i formule uzuale, obt , inem

2bc cos A a 4RS cos A cos A 1
l a 2 2 2
= · = = = .
h a b + c 2S 2RS(sin B + sin C) sin B+C cos B−C cos B−C
2 2 2
Not˘am
1 1 1
x = , y = , z = .
cos B−C cos C−A cos A−B
2 2 2
Avem x, y, z ≥ 1 s , i trebuie s˘a demonstr˘am c˘a x + y + z − xyz ≤ 2, inegalitate care se poate
scrie (x − 1)(y − 1) + (z − 1)(xy − 1) ≥ 0, deci este adev˘arat˘a.

Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a x = y = 1 sau x = z = 1 sau y = z = 1, adic˘a
A = B = C.