Page 96 - MATINF Nr. 11-12

˘
96 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

M 192. a) Rezolvat ,i ˆın R × R ecuat ,ia

4

4
2
3x + 1 3y + 1 = 12xy x + y 2 − 8.
b) Cˆate solut ,ii are aceast˘ ecuat ,ie ˆın C × C?
a
Miguel Amengual Covas, Spania s , i Doru Anastasiu Popescu, Romˆania

Solut ,ie (Titu Zvonaru. Com˘anes , ti). a) Ecuat , ia se rescrie ca

2
2 2
4
(x − y) + 3(x y − 1) = 0.
2 2
a
Rezult˘ c˘ x = y s , i x y = 1 s , i obt , inem solut , iile reale (x, y) ∈ {(1, 1), (−1, −1)}.
a
ˆ
b) In mult , imea C × C ecuat , ia are o infinitate de solut , ii, deoarece pentru orice y real avem o
a
ecuat , ie algebric˘ de gradul 4 cu necunoscuta x care, conform Teoremei fundamentale a algebrei,
a
are cel put , in o solut , ie complex˘a. O alt˘ justificare se obt , ine rescriind ecuat , ia sub forma
√ √
î 2 2 2 ó î 2 2 2 ó
(x − y) − i 3(x y − 1) (x − y) + i 3(x y − 1) = 0,
a
rezultˆand dou˘ ecuat , ii de gradul al doilea cu necunoscuta x, care au solut , ii complexe.
Remarc˘am c˘ dou˘a solut , ii complexe nereale mai elegante” sunt (i, i) s , i (−i, −i).
a
”
M 193. Determinat ,i valorile reale ale lui k pentru care inegalitatea
k + 3
2
(a + b + c − 1) + k − 1 ≥ · (a + b)(b + c)(c + a)
8
are loc pentru orice numere reale nenegative a, b s , i c astfel ˆıncˆat

ab + bc + ca + abc ≤ 4.

Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

Solut ,ie. Pentru a = b = c = 0 obt , inem k ≥ 0. Pentru a = b = 2 s , i c = 0 obt , inem k ≤ 2.
Inegalitatea are loc pentru a = b = c = x, pentru orice x ∈ [0, 1). As , adar, avem
2 2
(1 − x) (k + 3)x − (6 − k)x + k ≥ 0, adic˘a (k + 3)x − (6 − k)x + k ≥ 0, ∀ x ∈ [0, 1).
√
2
a
Dac˘ discriminantul p˘atraticei (k +3)x −(6−k)x+k nu este pozitiv, atunci k ≤ −2 7−4 sau
√ √ √
a
k ≥ 2 7−4 s , i cum k nu este negativ, atunci k ∈ [2 7−4; 2]. Dac˘ prin absurd 0 ≤ k < 2 7−4,
2
atunci r˘ad˘acinile p˘atraticei sunt diferite s , i nenegative, s , i cum (k + 3)x − (6 − k)x + k ≥ 0,
pentru orice x ∈ [0, 1), deducem c˘a ambele r˘ad˘acini sunt mai mari sau egale cu 1. As , adar,
k √
ˆ
≥ 1, contradict , ie. In concluzie, 2 7 − 4 ≤ k ≤ 2.
k + 3
√
ˆ
In continuare demonstr˘am inegalitatea pentru k ∈ [2 7 − 4; 2].
2
Presupunem prima dat˘a c˘a a + b + c < 3. Cum 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c) < 9,
(a + b + c) 3
atunci ab + bc + ca < 3, s , i cum din Inegalitatea mediilor abc ≤ < 1, atunci
27
ab + bc + ca + abc < 4. As , adar condit , ia din ipotez˘a este satisf˘acut˘a de orice a, b, c ≥ 0 cu