Page 91 - MATINF Nr. 11-12

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 91

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU
CONCURSURI

Rezolvarea problemelor pentru liceu din MATINF nr. 8

Clasa a IX-a

M 185. Ar˘atat ,i c˘a pentru orice numere naturale x 1 , x 2 , x 3 , supraunitare s , i distincte dou˘a cˆate
dou˘a, avem
1 1 1 91
Å ã Å ã Å ã
6 < 1 + 2 + 3 + ≤ .
x 1 x 2 x 3 8
Dorin M˘arghidanu, Corabia

a
Solut ,ie (Daniel V˘acaru, Pites , ti; Titu Zvonaru. Com˘anes , ti). Este clar c˘
Å ã Å ã Å ã
1 1 1
1 + 2 + 3 + > 1 · 2 · 3 = 6.
x 1 x 2 x 3

Pentru x 1 < x 2 < x 3 avem x 1 ≥ 2, x 2 ≥ 3, x 3 ≥ 4, deci

Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã
1 1 1 1 1 1 3 7 13 91
1 + 2 + 3 + ≤ 1 + 2 + 3 + = · · = .
x 1 x 2 x 3 2 3 4 2 3 4 8
Pentru x 1 < x 3 < x 2 avem x 1 ≥ 2, x 3 ≥ 3, x 2 ≥ 4, deci

1 1 1 1 1 1 3 9 10 45 91
Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã
1 + 2 + 3 + ≤ 1 + 2 + 3 + = · · = < .
x 1 x 2 x 3 2 4 3 2 4 3 4 8
Pentru x 2 < x 1 < x 3 avem x 2 ≥ 2, x 1 ≥ 3, x 3 ≥ 4, deci

Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã
1 1 1 1 1 1 4 5 13 65 91
1 + 2 + 3 + ≤ 1 + 2 + 3 + = · · = < .
x 1 x 2 x 3 3 2 4 3 2 4 6 8

Pentru x 2 < x 3 < x 1 avem x 2 ≥ 2, x 3 ≥ 3, x 1 ≥ 4, deci
Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã
1 1 1 1 1 1 5 5 10 125 91
1 + 2 + 3 + ≤ 1 + 2 + 3 + = · · = < .
x 1 x 2 x 3 4 2 3 4 2 3 12 8

Pentru x 3 < x 1 < x 2 avem x 3 ≥ 2, x 1 ≥ 3, x 2 ≥ 4, deci

1 1 1 1 1 1 4 9 7 21 91
Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã
1 + 2 + 3 + ≤ 1 + 2 + 3 + = · · = < .
x 1 x 2 x 3 3 4 2 3 4 2 2 8
Pentru x 3 < x 2 < x 1 avem x 3 ≥ 2, x 2 ≥ 3, x 1 ≥ 4, deci

1 1 1 1 1 1 5 7 7 245 91
Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã
1 + 2 + 3 + ≤ 1 + 2 + 3 + = · · = < .
x 1 x 2 x 3 4 3 2 4 3 2 24 8