Page 93 - MATINF Nr. 11-12

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 93

n
n
n n
n
n
Solut ,ie. Fie s = a + b s , i p = a b . Atunci, pentru orice i = 1, n, numerele a s , i b sunt
1 1
i
1
i
1
n
n
n
2
n
n
n
solut , iile ecuat , iei t − st + p = 0, deci (a , b ) ∈ {(a , b ), (b , a )}, pentru orice i = 2, n s , i astfel
i i 1 1 1 1
(a i , b i ) ∈ {(a 1 , b 1 ), (b 1 , a 1 )}, pentru orice i = 2, n.
Cazul 1. Dac˘a a 1 = b 1 , atunci a i = b i = a 1 pentru orice i = 2, n, deci A = B = {a 1 }.
Cazul 2. Dac˘a a 1 6= b 1 , atunci avem dou˘a subcazuri.
Subcazul 2.1. Dac˘a a i = a 1 s , i b i = b 1 pentru orice i = 2, n, atunci A = {a 1 } s , i B = {b 1 }.
Subcazul 2.2. Dac˘a exist˘a i = 2, n astfel ˆıncˆat a i = b 1 s , i b i = a 1 , atunci A = B = {a 1 , b 1 }.
Concluzia nu r˘amˆane adev˘arat˘a dac˘a n este num˘ar par. De exemplu, pentru (a 1 , b 1 ) =
(a 2 , b 2 ) = . . . = (a n−1 , b n−1 ) = (0, 1) s , i (a n , b n ) = (0, −1) avem a 1 b 1 = a 2 b 2 = . . . = a n b n = 0 s , i
n
n
n
n
n
n
a + b = a + b = . . . = a + b = 1, dar A = {0} s , i B = {−1, 1}, deci card(A) 6= card(B).
1 1 2 2 n n
M 188. Fie ABC un triunghi dreptunghic ˆın A s , i AD ⊥ BC, D ∈ BC. Dac˘a R, R 1 s , i R 2
sunt lungimile razelor cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC, ABD, respectiv ACD, iar r,
a
a
r 1 s , i r 2 sunt lungimile razelor cercurilor ˆınscrise ˆın aceste triunghiuri, s˘ se arate c˘
√
R + R 1 + R 2
≥ 1 + 2.
r + r 1 + r 2
Cˆand are loc egalitatea?
Marin Chirciu, Pites , ti
a c b
Solut ,ia 1. (Miguel Amengual Covas, Spania). Evident, avem R = , R 1 = , R 2 = ,
2 2 2
−a + b + c −c + BD + AD −b + AD + DC a + b + c
r = , r 1 = , r 2 = , deci R+R 1 +R 2 = = p
2 2 2 2
2S 2pr p(−a + b + c)
s , i r + r 1 + r 2 = AD = = = . Astfel, avem
a a a
−a + b + c b + c b + c √
r + r 1 + r 2
= = −1 + = −1 + √ ≤ −1 + 2,
2
R + R 1 + R 2 a a b + c 2
2
inegalitatea fiind echivalent˘a cu (b − c) ≥ 0. Deci
R + R 1 + R 2 1 √
≥ √ = 1 + 2,
−1 + 2
r + r 1 + r 2
iar egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a b = c, adic˘a triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.

Solut ,ia 2. (Titu Zvonaru, Com˘anes , ti). Triunghiurile ABC, ABD s , i ACD sunt asemenea.
a bc
Deoarece R = , r = , obt , inem
2 a + b + c
√
a c b
R 1 + R 1 + R 2 1 + + a(a + b + c) a 2 (b + c) b + c 2
2
R + R 1 + R 2 R R 2 a a
= = = = +
r + r 1 + r 2 r 1 + r 1 + r 2 bc 1 + c + b 2bc 2bc 2bc
r r a+b+c a a
√ √ √
2
b + c 2 (b + c) 2bc 2bc 2 bc · 2bc √
≥ + ≥ + = 1 + 2.
2bc 2bc 2bc 2bc
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a b = c, adic˘a dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul ABC este
dreptunghic isoscel.