Page 95 - MATINF Nr. 11-12

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 95

Clasa a X-a

M 190. a) Fie a, b ∈ R, 0,8 < a < 1, fixate. Demonstrat ,i c˘a o infinitate de numere de forma
√
2
a
n + an + b, unde n ∈ N, au cifra zecimilor egal˘ cu 4.
√ b) Fie a, b, c ∈ R, 1,2 < a < 1,5, fixate. Demonstrat ,i c˘a o infinitate de numere de forma
3 3 2
n + an + bn + c, unde n ∈ N, au cifra zecimilor egal˘ cu 4.
a
Cristinel Mortici, Viforˆata

Solut ,ie (Titu Zvonaru. Com˘anes , ti). a) Trebuie s˘a g˘asim n ∈ N astfel ˆıncˆat

Å ã 2 Å ã 2
2 1
2
n + ≤ n + an + b < n + ,
5 2
4n 4 1
adic˘a + ≤ an + b < n + . Aceast˘a dubl˘a inegalitate este adev˘arat˘a pentru orice
5 25
ßï 4 ò ï ò ™
4b − 1 4 − 25b
n ≥ n 0 , unde n 0 = max + 1; + 1; 1 .
4(1 − a) 5(5a − 4)
Å ã 3 Å ã 3
2 1
3
2
b) Trebuie s˘ g˘asim n ∈ N astfel ˆıncˆat n + ≤ n + an + bn + c < n + , adic˘a
a
5 2
3 3 1 6 12 8
Å ã Å ã Å ã Å ã
n 2 − a + n − b + − c > 0 s , i n 2 a − + n b − + c − ≥ 0.
2 4 8 5 25 125
Å ã Å ã
6 3 3 3 1
a
Deoarece < a < , rezult˘ c˘ parabolele asociate funct , iilor x 2 − a +x − b + −c
a
5 2 2 4 8
Å ã Å ã
6 12 8
s , i x 2 a − + x b − + c − admit minime, deci exist˘ o infinitate de numere naturale
a
5 25 125
n pentru care sunt satisf˘acute inegalit˘at , ile anterioare.
M 191. Rezolvat ,i ˆın mult ,imea numerelor reale ecuat ,ia
2
3 · 2 2x + 6 · 3 2x + 9 · 2 4x + 6 2x+2 + 36 · 3 4x = 49x + 7|x|.
Daniel Jinga, Pites , ti

2x
Solut ,ie (Titu Zvonaru. Com˘anes , ti). Notˆand y = 3 · 2 2x + 6 · 3 , ecuat , ia se scrie, succesiv
2
2
y + y = 49x + 7|x|, (y − 7|x|)(y + 7|x|) + y − 7|x| = 0, (y − 7|x|)(y + 7|x| + 1) = 0.
Deoarece y + 7|x| + 1 > 0, r˘amˆane de rezolvat ecuat , ia 3 · 2 2x + 6 · 3 2x = 7|x|.

Funct , ia f(x) = 3 · 2 2x + 6 · 3 2x este strict cresc˘atoare pe R.
Pentru x ≤ 0, funct , ia g(x) = 7|x| este strict descresc˘atoare, deci ecuat , ia f(x) = g(x) are cel
1
mult o r˘ad˘acin˘a. Aceasta este x = − .
2
Pentru x > 0, este us , or de ar˘atat c˘a avem 2 2x > x, 3 2x > x (de exemplu, folosind derivate
x
sau folosind Inegalitatea lui Bernoulli 3 2x > 2 2x > 2 ≥ 2 [x] ≥ 1 + [x] > x), deci f(x) > g(x) s , i
astfel ecuat , ia f(x) = g(x) nu are solut , ii.