Page 92 - MATINF Nr. 11-12

˘
92 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

M 186. Fie a, b, c > 0. Demonstrat ,i c˘
a
2
2
2
ab(a + 2b) bc(b + 2c) ca(c + 2a) 2 (a + b + c ) + ab + bc + ca
+ + ≤ .
2b + c 2c + a 2a + b 3
Mih´aly Bencze, Bras , ov

a a 2 ( P a) 2
P P
Solut ,ia 1. Aplicˆand Inegalitatea lui Bergstr¨om avem = ≥ P ,
2b + c 2ab + ac 3 ab
Å ã
P a(ab + bc + ca) P 2 P b(a + 2b) P 2
deci 3 ≥ ( a) , adic˘a 3 a a + b − ≥ ( a) . Astfel avem
2b + c 2b + c
P 2 P
P ab(a + 2b) P ab(a + 2b) 2 a + ab
P 2 P P 2 P
3 a + 3 ab − 3 ≥ a + 2 ab, deci ≤ .
2b + c 2b + c 3
Solut ,ia 2. (Titu Zvonaru, Com˘anes , ti). Cel mult una dintre variabile poate fi egal˘a cu zero.
Prin eliminarea numitorilor, inegalitatea se scrie

X X X X X
4
2 3
4
2 2
3 2
2 a b + 4 ab + 4 a b ≥ 7 a b + 3 a b c (1)
a
a
a
Inegalitatea (1) este ciclic˘a; putem presupune c˘ a = min{a, b, c}. Trebuie s˘ analiz˘am dou˘
cazuri:
Cazul 1. a ≤ b ≤ c. Fie x, y ≥ 0 astfel ˆıncˆat b = a + x, c = a + x + y. Inegalitatea (1) devine
3 2
2 3
2
2 3
3 2
2 2
2
4
3
18a x + 18a xy + 18a y + 33a x + 72a x y + 81a xy + 21a y + 18ax +
2 3
3 2
4
5
4
4
2 2
3
3
66ax y + 96ax y + 48axy + 6ay + 3x + 16x y + 29x y + 20x y + 4xy ≥ 0,
deci este adev˘arat˘a.
Cazul 2. a ≤ c ≤ b. Fie x, y ≥ 0 astfel ˆıncˆat b = a + x + y, c = a + x. Inegalitatea (1) devine
2
3
2
2 2
4
2 3
3 2
2 3
3 2
18a x + 18a xy + 18a y + 33a x + 27a x y + 36a xy + 21a y + 18ax +
3 2
3
4
4
4
3
2 2
5
2 3
6ax y + 6ax y + 18axy + 6ay + 3x − x y − 5x y + x y + 2xy ≥ 0.
2
2 3
2
4
3 2
2
5
4
Deoarece 3x − x y − 5x y + x y + 2xy = x(x − y) (3x + 5xy + 2y ) ≥ 0, inegalitatea este
adev˘arat˘a s , i ˆın acest caz.
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a x = y = 0 sau a = 0, x = y, adic˘a pentru tripletele
(k, k, k) s , i (0, 2t, t) s , i permut˘ari circulare, unde k, t sunt numere reale strict pozitive.
a
M 187. Fie n > 1 un num˘ar natural impar. Se consider˘ numerele reale a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . . . , a n , b n
n
n
n
n
n
n
astfel ˆıncˆat a 1 b 1 = a 2 b 2 = . . . = a n b n s , i a + b = a + b = . . . = a + b . Fie mult ,imile
1 1 2 2 n n
A = {x ∈ R | ∃i = 1, n a.ˆı. a i = x} s , i B = {x ∈ R | ∃i = 1, n a.ˆı. b i = x}.
a
Ar˘atat ,i c˘ avem card(A) = card(B) ∈ {1, 2}.
a
R˘amˆane concluzia adev˘arat˘ dac˘ n este num˘ar par?
a
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti