Page 99 - MATINF Nr. 11-12

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 99

Clasa a XI-a

∗
M 195. Fie n ∈ N s , i permutarea σ ∈ S 2n definit˘ prin
a
σ(i) = i + (−1) i−1 , i = 1, 2n,

Cˆate solut ,ii x ∈ S 2n are ecuat ,ia xσ = σx?

Sorin Ulmeanu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

Solut ,ie. Ecuat , ia xσ = σx este echivalent˘a cu xσx −1 = σ, adic˘a cu

Å ã Å ã
x(1) x(2) x(3) x(4) . . . x(2n − 1) x(2n) 1 2 3 4 . . . 2n − 1 2n
= ,
x(2) x(1) x(4) x(3) . . . x(2n) x(2n − 1) 2 1 4 3 . . . 2n 2n − 1

adic˘ (x(2i − 1), x(2i)) ∈ {(2j − 1, 2j), (2j, 2j − 1) | j = 1, n}, pentru orice i = 1, n.
a
a
Astfel perechea ((x(1), x(2)) poate fi aleas˘ˆın 2n moduri, perechea ((x(3), x(4)) poate fi aleas˘
a
ˆın 2(n − 1) moduri (pentru fiecare alegere a perechii anterioare), . . ., perechea (x(2n − 1), x(2n))
a
a
poate fi aleas˘ ˆın 2 moduri (pentru fiecare alegere a perechilor anterioare), deci ecuat , ia dat˘ are
n
2 · n! solut , ii.
a
a
M 196. Dac˘ a, b s , i x sunt numere reale care verific˘ relat ,iile
ß
a cos x − b sin x = cos 2x
a sin x + b cos x = 2 sin 2x
√ √
∗
3
iar z este num˘arul complex z = 3 a + b + i a − b, determinat ,i x ∈ R s , i n ∈ N astfel ˆıncˆat
n
z = 1 + i.
Marin Chirciu, Pites , ti

Solut ,ie (Titu Zvonaru. Com˘anes , ti). Avem
2
2
2

a = 2 sin 2x sin x + cos x cos 2x = cos x 4 sin x + 1 − 2 sin x = cos x + 2 sin x cos x,
2
2
2

b = 2 sin 2x cos x − sin x cos 2x = sin x 4 cos x + 1 − 2 cos x = sin x + 2 cos x sin x,
a + b = sin x + cos x + 2 sin x cos x(sin x + cos x)
3

2
2
= (sin x + cos x) sin x + cos x + 2 sin x cos x = (sin x + cos x) ,
a − b = cos x − sin x + 2 sin x cos x(sin x − cos x)
3
2
2

= (cos x − sin x) sin x + cos x − 2 sin x cos x = (cos x − sin x) .
◦
◦
a
Rezult˘ c˘ z = sin x + cos x + i(cos x − sin x) = sin x + sin (90 − x) + i (cos x − cos (90 − x)) =
a
√ √ n
◦
◦
n
◦
◦
2 cos (45 − x) + i 2 sin (45 − x) , deci z = 2 2 (cos (n (45 − x)) + i sin (n (45 − x))).
√
n
◦
◦
◦
◦
n
Ecuat , ia z = 1+i devine 2 2 (cos (n (45 − x)) + i sin (n (45 − x))) = 2 (cos 45 + i sin 45 ) ,
deci n = 1 s , i x = 2kπ, cu k ∈ Z.