Page 98 - MATINF Nr. 11-12

˘
98 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

2
2
c˘a 16s − 16s + 4k ≥ 4(k + 3)s, adic˘a 4s − 4s − (k + 3)s + k ≥ 0. Pentru k = 2, avem
2
a
a
4s − 4s − 5s + 2 ≥ 0, adic˘ (s − 2)(4s − 1) ≥ 0, evident adev˘arat. Este suficient s˘ ar˘at˘am c˘
a
2
2
4s − 4s − (k + 3)s + k − (4s − 4s − 5s + 2) ≥ 0, adic˘a (2 − k)(s − 1) ≥ 0, evident adev˘arat.
Demonstrat , ia este astfel complet˘a.
√
S˘a remarc˘am c˘a avem egalitate pentru a = b = c = 1. Pentru k = 2 7 − 4 mai avem, ˆın
√
√
6 − k 5 − 7 7 − 1
plus, egalitate pentru a = b = c = = √ = . Pentru k = 2 mai avem, ˆın
2(k + 3) 2 7 − 1 3
plus, egalitate pentru a = b = 2, c = 0 s , i permut˘arile.
M 194. Fie ABC un triunghi. Demonstrat ,i c˘a pentru orice punct M situat pe cercul ˆınscris
triunghiului ABC aven
r r r
Å ã Å ã Å ã
2
2
2
2
10r ≤ 1 − MA + 1 − MB + 1 − MC ≤ 5Rr.
r a r b r c
Cˆand au loc egalit˘at ,ile?
Marin Chirciu, Pites , ti

Solut ,ie (Titu Zvonaru. Com˘anes , ti). Fie I centrul cercului ˆınscris ˆın triunghiul ABC. Dac˘a P
este un punct oarecare din planul triunghiului, se s , tie c˘a

2
2
2
2
a · PA + b · PB + c · PC = (a + b + c)PI + abc.
Aceast˘ identitate se obt , ine, de exemplu, prin calcule, folosind formula coordonatelor centrului
a
cercului ˆınscris triunghiului,
ax A + bx B + cx C ay A + by B + cy C
x I = , y I = .
a + b + c a + b + c

Deoarece punctul M din problem˘a este situat pe cercul ˆınscris, obt , inem
Å ã Å ã Å ã
r r r
2
2
1 − MA + 1 − MB + 1 − MC 2
r a r b r c
Å ã Å ã Å ã
p − a p − b p − c
2
2
= 1 − MA + 1 − MB + 1 − MC 2
p p p
2
1 2pr + 4pRr
2
2
2
= a · MA + b · MB + c · MC 2 = = 2r + 4Rr.
p p
Inegalit˘at , ile dorite devin
10r ≤ 2r + 4R ≤ 5R,
echivalente fiecare cu Inegalitatea lui Euler R ≥ 2r. Mai mult, egalit˘at , ile au loc dac˘a s , i numai
a
dac˘ triunghiul este echilateral.