Page 33 - MATINF Nr. 1

Probleme de calcul integral. Inegalit˘ati integrale I
,

Florin St˘anescu 1

Scopul acestei note este familiarizarea cititorului cu problemele de calcul integral, urm˘arindu-
ˆ
se ˆın special rezolvarea de aplicat , ii din sfera inegalit˘at , ilor integrale. In final, pentru pasionat , i,
am propus un test.

Funct , ii pozitive. Funct , ii monotone. Funct , ii convexe

R b
• Fie f : [a, b] → R integrabil˘a s , i f (x) ≥ 0, x ∈ [a, b] . Atunci f (x) dx ≥ 0.
a
• Fie f, g : [a, b] → R dou˘a funct , ii integrabile cu proprietatea c˘a f (x) ≤ g (x) x ∈ [a, b] .
R b R b
Atunci f (x) dx ≤ g (x) dx.
a a
• Dac˘a f : [a, b] → R este o funct , ie integrabil˘a, atunci |f| este integrabil˘a s , i

Z b Z b

f (x) dx ≤ |f (x)| dx.

a a
• Inegalitatea lui Cebˆas , ev:
Fie f, g : [a, b] → R dou˘a funct , ii avˆand aceeas , i monotonie, iar p : [a, b] → [0, ∞) o funct , ie
integrabil˘a. Atunci are loc inegalitatea:

b å Ç Z b å Ç Z b å Ç Z b å
Ç Z
p(x)dx p(x)f(x)g(x)dx ≥ p(x)f(x)dx · p(x)g(x)dx .
a a a a
ˆ
In cazul cˆand f s , i g sunt de monotonii diferite, avem:
b å Ç Z b å Ç Z b å Ç Z b å
Ç Z
p(x)dx p(x)f(x)g(x)dx ≤ p(x)f(x)dx · p(x)g(x)dx .
a a a a
Punˆand p(x) = 1, (∀)x ∈ [a, b], obt , inem:

R b R b R b
a) (b − a) f(x)g(x)dx ≥ f(x)dx g(x)dx, dac˘a f s , i g au aceeas , i monotonie;
a a a
R b R b R b
b) (b − a) f(x)g(x)dx ≤ f(x)dx g(x)dx, dac˘a f s , i g sunt de monotonii diferite.
a a a
Egalitatea are loc dac˘a una din funct , iile f, g este constant˘a (cu except , ia, eventual, a unei
mult , imi num˘arabile).

• Dac˘a f : I → R este o funct , ie convex˘a s , i x, y, z ∈ I astfel ˆıncˆat x < y < z, atunci are loc
inegalitatea:
f(y) − f(x) f(z) − f(y)
≤ .
y − x z − y
1
Profesor, S , coala Gimnazial˘a ,,S , erban Cioculescu”, G˘aes , ti, florin.florinstanescu@yahoo.com

33