Page 31 - MATINF Nr. 1

Asupra unei probleme propuse la Olimpiada National˘a
,
de Matematic˘a

Marin Ionescu 1

La Olimpiada Nat , ional˘a de Matematic˘a din 2017, domnul profesor Lucian Dragomir din
Ot , elu Ros , u a propus elevilor de clasa a X-a urm˘atoarea problem˘a:
Problema 1. Demonstrat , i inegalitatea:
√
π 2
sin ≥ ,
4n 2n

unde n este un num˘ar natural nenul [1].
ˆ
In cele ce urmeaz˘a vom da o solut , ie diferit˘a de cea propus˘a de Comisia Central˘a.
Inegalitatea din enunt , este o consecint , ˘a a urm˘atorului rezultat.

?
Propozit , ie. Pentru orice n ∈ N s , i x ∈ R, exist˘a inegalitatea
| sin nx| ≤ n| sin x|.

Demonstrat¸ie. Pentru n = 1, inegalitatea este verificat˘a. Presupunem inegalitatea adev˘arat˘a
pentru n s , i demonstr˘am c˘a este adev˘arat˘a pentru n + 1.

Avem:

| sin(n + 1)x| = | sin nx cos x + sin x cos nx| ≤ | sin nx cos x| + | sin x cos nx|

= | sin nx| · | cos x| + | sin x| · | cos nx| ≤ | sin nx| + | sin x| ≤ n| sin x| + | sin x| = (n + 1) · | sin x|.

Cu propozit , ia de mai sus, inegalitatea dat˘a la concurs rezult˘a astfel:
√
2 π Å π ã π π
= sin = sin n · ≤ n · sin = n · sin

2 4 4n 4n 4n
√
2 π
s , i de aici obt , inem ≤ sin .
2n 4n
ˆ
In G.M. 10/2017 domnul profesor Traian Preda din Bucures , ti a propus la clasa a X-a
urm˘atoarea problem˘a:
π 1 π
Problema 2. (27437) S˘a se demonstreze inegalitatea sin ≥ sin , unde m s , i n sunt
mn m n
numere naturale nenule.
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Ion C. Br˘atianu”, Pites , ti, marin.ionescu61@gmail.com

31