Page 38 - MATINF Nr. 1

38 F. St˘anescu

Test

R a
1. Fie f : [0, 1] → R. Dac˘a f este derivabil˘a s , i exist˘a a ∈ (0, 1] astfel ˆıncˆat f (x) dx = 0, s˘a
0

1 f (x) dx ≤ 1−a 0
R

se arate c˘a 0 2 sup |f (x)|.
x∈[0,1]
2. Dac˘a f : [0, 1] → R este o funct , ie cresc˘atoare, demonstrat , i inegalit˘at , ile:
1
Z Z 1 Z 1
n n−1 ∗
f (x) dx ≤ x f (x) dx ≤ f (x) dx, (∀) n ∈ N .
0 0 1− 1
n
0
3. Dac˘a f : [0, 1] → R este o funct , ie derivabil˘a, cu f integrabil˘a s , i R 0 1 f (x) dx = 0, demonstrat , i
inegalitatea:
1
Z Ç Z å 2
1 Ä 2 ä 0 2
1 − x (f (x)) dx ≥ 24 xf (x) dx .
0 0
0
1
4. Dac˘a f : [0, 1] → R, este o funct , ie integrabil˘a, cuf integrabil˘a s , i f Ä ä = 0, ar˘atat , i c˘a are
2
loc inegalitatea:
1 å 2 1 Z 1 2
Ç Z
0
f (x) dx ≤ · (f (x)) dx.
0 12 0
5. Fie a, b > 0. Demonstrat , i c˘a:
√ s
1 Ç 1 1 å Z π Ç sin x 2 cos x 2 å π Ç 1 1 å
2
√ + ≤ + dx ≤ + .
2π a b 0 a b 2 a 2 b 2
Bibliografie

[1] M. Andronache, R. Gologan, D. Schwarz, D. S , erb˘anescu, Olimipiada de matematic˘a 2006-
2010, Ed. Sigma, Bucures , ti, 2010.

[2] M.O. Drimbe, Inegalit˘at , i, idei s , i metode, Ed. Gil, Zal˘au, 2003.

[3] L.G. L˘adunc˘a, Borne pentru matematicieni, Algebr˘a-Analiz˘a, clasele IX-XII, Ed. Taida, Ias , i,
2010.

[4] C. Mortici, Bazele Matematicii. Teorie s , i exercit , ii, Ed. Paralela 45, Pites , ti, 2016.

[5] N. Mus , uroaia, Gh. Boroaica, Analiz˘a Matemtic˘a pentru concursuri, olimpiade s , i centre de
excelent , ˘a, Clasa a XII-a, Ed. Paralela 45, Pites , ti, 2014.

[6] F. St˘anescu, Inegalit˘at , i integrale:de la init , iere la performant , ˘a, Ed. Paralela 45, Pites , ti, 2015.

[7] R.T. Rockafeller, Analiz˘a convex˘a, Ed. Theta, Bucures , ti, 2002.

[8] Colect , ia Gazetei Matematice, Seria B.