Page 37 - MATINF Nr. 1

Inegalit˘at , i integrale 37

Solut ,ie. Consider˘am funct , ia derivabil˘a de dou˘a ori

x x
Z 2
g : [0, 1] → R, g (x) = f (t) dt + M · ,
0 2
0
00
0
unde M = max |f (x)| . Avem g (x) = f (x) + M ≥ 0, (∀) x ∈ [0, 1] , deci g este convex˘a
x∈[0,1]
pe [0, 1] . Folosind c˘a g este convex˘a, putem scrie:
g (α) = g ((1 − α) · 0 + α · 1) ≤ (1 − α) g (0) + αg (1)
α α α α M M 1 − α + α 1
Z 2 Z Ç å 2
⇒ f (x) dx + M ≤ M ⇒ f (x) dx = α (1 − α) ≤ = M.
0 2 2 0 2 2 2 8
ˆ R 0 α f (x) dx ≤ M, deci
1
In final, ˆınlocuind pe f cu −f, obt , inem c˘a −
8
α 1
Z
0
f (x) dx ≤ · max |f (x)| .

8 x∈[0,1]
0
9. Dac˘a h este o funct , ie pozitiv˘a s , i descresc˘atoare pe [0, 1], atunci:
1 xh (x) dx 1 h (x) dx
2
R R
2
0 0 .
R 1 xh (x) dx ≤ R 1 h (x) dx
0 0
ˆ
2
Solut ,ie. In inegalitatea lui Cebˆas , ev, pentru f (x) = x, g (x) = 1 , p (x) = h (x) , obt , inem:
h(x)
1 å Ç Z 1 1 å Ç Z b å Ç Z b 1 å
Ç Z
2
2
2
2
h (x)dx · h (x) · x · dx ≥ h (x) · xdx h (x) dx
0 0 h (x) a a h (x)
1 å Z 1 Ç Z b å Ç Z b å
Ç Z
2
2
⇒ h (x)dx · x · h (x) dx ≥ h (x) · xdx h(x)dx .
0 0 a a
10. Consider˘am P ∈ R[X] un polinom de grad n ≥ 2 cu coeficient , i strict pozitivi s , i 0 ≤ a < b.
Dac˘a P are numai r˘ad˘acini reale, demonstrat , i c˘a:
0
00
Z b P (x) P(a) P (a)
(b − a) dx > ln · ln .
0
a P(x) P(b) P (b)
Solut ,ie. Dac˘a x 1 , x 2 , ..., x n sunt r˘ad˘acinile polinomului P, din enunt , deducem c˘a ele sunt
strict negative. Mai avem c˘a
0
P (x) 1 1 1
= + + ... + , (∀)x ≥ 0.
P(x) x − x 1 x − x 2 x − x n
Derivˆand, obt , inem:
å0 !
P (x) 1 1 1
Ç 0
= − + + ... + < 0.
P(x) (x − x 1 ) 2 (x − x 2 ) 2 (x − x n ) 2
0
ˆ P (x) , rezult˘a c˘a φ este strict
In continuare, construind funct , ia φ : [0, ∞) → R, φ(x) =
P(x)
0
descresc˘atoare. Deoarece P are numai r˘ad˘acini reale strict negative, analog, obt , inem c˘a
00
funct , ia ψ : [0, ∞) → R, ψ(x) = P (x) este strict descresc˘atoare, deci funct , iile φ s , i ψ au
0
P (x)
aceeas , i monotonie si nu sunt constante.
Dac˘a 0 ≤ a < b, putem scrie:
00
Z b P (x) Z b 1 Z b Z b
dx = φ(x) · ψ(x)dx > φ(x)dx · ψ(x)dx
a P(x) a b − a a a
00
0
0
1 Z b P (x) Z b P (x) 1 P(b) P (b)
= dx · dx = ln · ln .
0
0
b − a a P(x) a P (x) b − a P(a) P (a)