Page 28 - MATINF Nr. 1

28 L.M. Giugiuc, D. Tr˘ailescu Gogan

−−→ −−→
4HB 1 B 2 dreptunghic ˆın H ⇒ HB 1 · HB 2 = 0 ⇒

î ó î ó
~
~
~
~
c (1 − n) i + (1 + n − 2bc) · j · c (1 + n) · i + (1 − n − 2bc) j = 0
2
2 2
4b c + c + 1 − 4bc
2
⇒ n = .
1 + c 2
−−→ −−→
4HC 1 C 2 dreptunghic ˆın H ⇒ HC 1 · HC 2 = 0 ⇒
î ~ ~ ó î ~ ~ ó
−b (1 − p) i + (1 + p − 2bc) · j · −b (1 + p) i + (1 − p − 2bc) · j = 0
2
2 2
4b c + b + 1 − 4bc
2
⇒ p = .
1 + b 2
2
2
2
2
2
2 2
O 1 A 1 = m + (1 − bc) = 5b c + b + c + 1 − 4bc.
2
2
2
2
2 2
2
O 1 B 1 = (b − cn) + (bc + n) = 5b c + b + c + 1 − 4bc.
2
2
2 2
2
2
2
O 1 C 1 = (c + bp) + (bc − p) = 5b c + b + c + 1 − 4bc.
Deci
O 1 A 1 = O 1 B 1 = O 1 C 1 . (2)
Din relat , iile (1) s , i (2) obt , inem c˘a punctele A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , C 1 s , i C 2 sunt conciclice.
Aplicat , ia 2. Consider˘am 4ABC ascutitunghic. Fie P piciorul ˆın˘alt , imii din A, O centrul

◦
◦
cercului circumscris 4ABC. Presupunem c˘a B+30 ≤ C. Demonstrat , i c˘a A+m COP < 90 .
÷
I.M.O. 2001
Solut ,ie. Consider˘am in s.c.c.o. xPy, punctele A (0, 2), B (−2b, 0), C (2c, 0). Cum 4ABC este
ascutitunghic ⇒ b, c > 0 s , i b · c < 1. De asemenea, cum B < C ⇒ b > c.

◦
A + m COP < 90 ⇔ ctg A + m COP > 0
÷
÷

⇔ ctg A · ctg COP > 1.
÷
Avem:
1 − bc
ctg A = −ctg (B + C) = ,
b + c

ctg COP = ctg COM − POM , unde M este mijlocul lui (BC).
÷
◊
◊
Not˘am c.c. al 4ABC cu w. Avem:
2
2
Ä
w : [x − (c − b)] + [y − (1 − bc)] = 1 + b 2 ä Ä 1 + c 2 ä .
OM 1 − bc
ˆ ◊ = .
In 4COM, ctg COM =
CM b + c
OM 1 − bc

ˆ ◊ = .

In 4POM, ctg POM =
OP b − c