Page 108 - MATINF Nr. 9-10

˘
108 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

−→
−−→ ch 4 · AC
h 3 s , i h 4 sunt distant , ele de la E la dreptele BC, respectiv AB, obt , inem AD = . Cum
ah 3 + ch 4
a
M se afl˘ ˆın interiorul 4ABC, atunci coordonatele sale baricentrice ˆın raport cu A, B s , i C sunt
−→ −→ −→ −→
−−→ by · AB + cz · AC by · AB + cz · AC
ariile [MBC], [MCA] s , i [MAB]. Deci AM = = , (1).
ax + by + cz a (y + z) + by + cz
−→ −→
−−→ −→ −−→ bh 2 · AB ch 4 · AC
Dar M ∈ (DE), deci AM = k·AE+(1 − k)·AD = k· +(1 − k)· , cu k ∈ (0, 1).
ah 1 + bh 2 ah 3 + ch 4
y (ah 1 + bh 2 )
y (ah 1 + bh 2 ) z (ah 3 + ch 4 )
Prin identificare, obt , inem = , deci k = h 2 .
kh 2 (1 − k)h 4 y (ah 1 + bh 2 ) z (ah 3 + ch 4 )
+
−→ −→ h 2 h 4
−−→ by · AB + cz · AC h 1 h 3
Astfel AM = . Deci dac˘a not˘am = α s , i = β, atunci
y (ah 1 + bh 2 ) z (ah 3 + ch 4 ) h 2 h 4
+
h 2 h 4
−→ −→
−−→ by · AB + cz · AC
a
AM = , (2). Din (2) s , i (1) rezult˘ c˘a yα + zβ = y + z.
y (aα + b) + z (aβ + c)
Procedˆand analog pentru punctul N, obt , inem vα + wβ = v + w.
y z y z y + z x yb zc xa
Dac˘a, prin absurd, = , atunci = = = = R, deci R = = = =
v w v w v + w u vb wc ua
yb + zc + xa [ABC]
= = 1, deci M s , i N au aceleas , i ponderi ˆın raport cu A, B, C, deci
vb + wc + ua [ABC]
®
y z yα + zβ = y + z
M = N, contradict , ie. As , adar 6= , de unde rezult˘a c˘a sistemul are
v w vα + wβ = v + w
solut , ie unic˘a. Observ˘am c˘ α = 1, β = 1 este solut , ie a sistemului, deci este unica solut , ie. Astfel
a
h 1 = h 2 s , i h 3 = h 4 , ceea ce ˆıncheie demonstrat , ia.

Clasa a XI-a

Ñ é
1 2 1
M 175. Se consider˘ matricea A = 0 −2 −4 . Calculat ,i A 2021 .
a
−1 0 1

* * *

a 11 a 12 a 11 a 13 a 22 a 23
Solut ,ie. Avem tr (A) = 0, det(A) = 4 s , i α(a) = + + =

a 21 a 22 a 31 a 33 a 32 a 33
3
−2 + 2 − 2 = −2, deci ecuat ,ia caracteristic˘a a matricei A este A − 2A − 4I 3 = O 3 . Forma
3
a
numeric˘ a acestei ecuat , ii este x − 2x − 4 = 0, avˆand r˘ad˘acinile x 1 = 2, x 2,3 = −1 ± i.
2
3
Din Teorema ˆımp˘art ,irii cu rest avem x 2021 = (x − 2x − 4)C(x) + ax + bx + c, ∀ x ∈ C, cu
a, b, c ∈ R. Luˆand x = x 1 s , i x = x 3 obt , inem 4a+2b+c = 2 2021 s , i 2ai+b(−1−i)+c = (−1−i) 2021 ,