Page 105 - MATINF Nr. 9-10

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 105

◦
◦
M 169. Demonstrat ,i c˘ numerele sin 2021 s , i cos 2021 sunt irat ,ionale.
a
* * *

Solut ,ie. Avem (2021, 360) = 1, deci exist˘a k, m ∈ Z astfel ˆıncˆat 2021k + 360m = 1, prin
◦
◦
◦
urmare cos(k · 2021 ) = cos 1 . S˘a presupunem, prin absurd, c˘a avem cos 2021 ∈ Q. Atunci,
folosind formula cos(n + 1)x = 2 cos x cos nx − cos(n − 1)x, rezult˘a prin induct , ie c˘a avem
◦
◦
◦
cos(n · 2021 ) ∈ Q pentru orice n ∈ N. Astfel ar rezulta c˘a s , i cos 1 = cos(|k| · 2021 ) ∈ Q, de
◦
unde, aplicˆand acelas , i rat , ionament, ar rezulta c˘ s , i cos n ∈ Q pentru orice n ∈ N, fals, deoarece
a
◦
◦
cos 30 6∈ Q. Deci cos 2021 6∈ Q.
◦
◦
◦
◦
Analog, sin 2021 = cos(2021 − 90 ) = cos 1931 6∈ Q, deoarece (1931, 360) = 1.
Clasa a X-a
n n
P P x i
M 170. Fie 0 ≤ x 1 , x 2 , . . . , x n < 1, n ≥ 3 astfel ˆıncˆat x i = 1 s , i ≤ 2.
i=1 i=1 1 − x i
Demonstrat ,i c˘
a
n 2 n
" # ! 2
X x n X x i n
(n − 2) i − ≥ (2n − 1) − .
(1 − x i ) 2 (n − 1) 2 1 − x i n − 1
i=1 i=1
Cˆand are loc egalitatea?
Vasile Cˆırtoaje, Ploies , ti s , i Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

n
x i a i P a i
Solut ,ie. Not˘am = a i , deci x i = , i = 1, n. Deoarece = 1, avem
1 − x i 1 + a i i=1 a i + 1
n 1
P
= n − 1. Astfel inegalitatea dorit˘ devine
a
a i + 1
i=1
n n
" # ! 2
X n X n
2
(n − 2) a − 2 ≥ (2n − 1) a i − .
i
i=1 (n − 1) i=1 n − 1
n 1 n 2 n n
P P
Utilizˆand Inegalitatea HM-AM avem n − 1 = ≥ n , deci a i ≥ , cu
i=1 a i + 1 n + P a i i=1 n − 1
i=1
n
1 P n
egalitate d.n.d. a 1 = . . . = a n = . Notˆand a i = S, avem ≤ S ≤ 2.
n − 1 i=1 n − 1
ï ò Å ã Å ã 2
n n n n
P P a i P P 2 2
a
Din Inegalitatea CBS avem a i (1 + a i ) ≥ a i , adic˘ a ≥ S − S.
i
i=1 i=1 a i + 1 i=1 i=1
1 1
Mai mult, egalitatea are loc d.n.d. a 1 = . . . = a n = sau a 1 = . . . = a p = s , i
n − 1 p − 1
a
a p+1 = . . . = a n = 0, unde 2 ≤ p ≤ n − 1, s , i permut˘arile lor. Astfel este suficient s˘ demonstr˘am
ñ ô Å ã 2
n n
2
a
c˘ (n − 2) S − S − 2 ≥ (2n − 1) S − , adic˘
a
(n − 1) n − 1
n 1 n
Å ã Å ã Å ã 2
(n − 2) S − S + ≥ (2n − 1) S − .
n − 1 n − 1 n − 1