Page 104 - MATINF Nr. 9-10

˘
104 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

k−1 k−1
P d i+1 P
a) Prin adunare obt , inem (n − 1) ≥ (k − 1)(n − 1) + d i .
i=1 d i i=1
k−1 k−1
Q k−1 Q d i+1 k−1 d k k−1
b) Prinˆınmult , ire obt , inem (n−1+d i ) ≤ (n−1) · = (n−1) · = (n−1) d k
i=1 i=1 d i d 1
(deoarece d 1 = 1).
M 167. Fie a, b, c, d > 0 astfel ˆıncˆat abcd = 1. Demonstrat ,i c˘
a
1 1 1 1
Å ã
(a + b + c + d) 3 + + + ≥ 16.
3
a + 15 b + 15 c + 15 d + 15
3
3
3
Marin Chirciu s , i Octavian Stroe, Pites , ti
Solut ,ie (Titu Zvonaru, Com˘anes , ti). Folosind Inegalitatea mediilor, avem
3
3
3
(a + b + c + d) = (a + b) + (c + d) + 3(a + b)(c + d)(a + b + c + d)
3
3
3
3
= a + b + c + d + 3ab(a + b) + 3cd(c + d) + 3(a + b)(c + d)(a + b + c + d)
√ √ √ Ä√ √ ä
3
3
3
3
≥ a + b + c + d + 6ab ab + 6cd cd + 24 abcd ab + cd
» √ » √
3
3
3
3
≥ a + b + c + d + 12 abcd abcd + 48 abcd abcd
3
3
3
3
3
3
3
3
= a + b + c + d + 60 = (a + 15) + (b + 15) + (c + 15) + (a + 15).
a
a
a
Inegalitatea din enunt , rezult˘ imediat din Inegalitatea HM-AM, scris˘ sub forma binecunoscut˘
1 1 1 1
Å ã
(x + y + z + t) + + + ≥ 16.
x y z t
Remarc˘a. Aceast˘a solut , ie permite rezolvarea urm˘atoarei probleme, mai general˘a: dac˘a
a, b, c, d, x, y, z, t > 0 astfel ˆıncˆat abcd = 1 s , i x + y + z + t = 60, atunci
Å 1 1 1 1 ã
(a + b + c + d) 3 + + + ≥ 16.
3
3
3
3
a + x b + y c + z d + t
M 168. Fie ABC un triunghi s , i M mijlocul laturii AC. Consider˘am punctul D pe dreapta
BC astfel ˆıncˆat B este situat ˆıntre C s , i D, iar BD = AB. Dac˘a dreapta DM intersecteaz˘a
bisectoarea unghiului B ˆın punctul E, s˘a se calculeze unghiul ^EAB ˆın funct ,ie de unghiurile
triunghiului ABC.
Titu Zvonaru, Com˘anes , ti
B
Solut ,ie. Not˘am x = ^EAB. Deoarece 4ABD este isoscel, avem ^BAD = = ^EBA, deci
2
B c sin x
BE k AD s , i AD = 2c cos . Din Teorema sinusurilor ˆın 4ABE avem BE = .
2 sin x + B
2
Fie {P} = AB ∩ DM. Folosind Teorema lui Menelaus pentru 4ABC cu transversala
DB MC PA c AD
a
D − P − M s , i faptul c˘ BE k AD, avem, succesiv: · · = 1, · = 1,
DC MA PB a + c BE
B c(a + c) sin x Å B ã B
2
2c cos = , 2c sin x + cos = (a + c) sin x, c [sin(x + B) + sin x] =
2 sin x + B 2 2
2
(a + c) sin x, sin(x+B) sin C = sin A sin x, sin(x+B) sin C = sin x sin(B +C), sin x cos B sin C +
cos x sin B sin C = sin x sin B cos C + sin x cos B sin C, cos x sin C = sin x cos C, sin(x − C) = 0,
prin urmare x = C.