Page 107 - MATINF Nr. 9-10

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 107

M 173. Pentru orice num˘ar natural n ∈ N, ar˘atat ,i c˘
a
(2 2021 · n)! ∗
∈ N .
n! · (n + 1)! · (2n + 1)! · (4n + 1)! · (8n + 1)! · . . . · (2 2020 · n + 1)!

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

Solut ,ie. Not˘am cu a(n) expresia din enunt , . Evident, a(0) = 1. Pentru n ≥ 1 avem

(2 2021 · n)! (2 2020 · n)! (4n)! (2n)!
a(n) = · · . . . · · .
(2 2020 · n)! · (2 2020 · n + 1)! (2 2019 · n)! · (2 2019 · n + 1)! (2n)!(2n + 1)! n!(n + 1)!

(2n)!
∗
∗
n
n−1
Notˆand c(n) = = C 2n − C 2n ∈ N , pentru orice n ∈ N (numerele lui Catalan),
n!(n + 1)!
avem
∗

a(n) = c 2 2020 · n · c 2 2019 · n · . . . · c(2n) · c(n) ∈ N .
M 174. Fie ABC un triunghi s , i fie D s , i E dou˘a puncte situate pe laturile (AC), respectiv
(AB). Consider˘am dou˘ puncte distincte M s , i N situate pe segmentul (DE). Not˘am cu x, y s , i
a
z distant ,ele de la punctul M la dreptele BC, CA, respectiv AB. Analog, not˘am cu u, v s , i w
distant ,ele de la punctul N la dreptele BC, CA, respectiv AB.
a
a
Demonstrat ,i c˘ dac˘ x = y + z s , i u = v + w, atunci BD s , i CE sunt bisectoarele interioare
din B, respectiv C ale triunghiului ABC.
Dan S , tefan Marinescu, Hunedoara

Solut ,ia 1 (Titu Zvonaru, Com˘anes , ti). Vom utiliza urm˘atoarea relat , ie: dac˘ ABCD este un trapez
a
DM · AB + AM · CD
s , i MN k AB k CD, unde M ∈ (AD) s , i N ∈ (BC), atunci MN = .
AD
ˆ
Intr-adev˘ar, dac˘a paralela prin D la BC intersecteaz˘a MN ˆın Q, iar paralela prin M
la BC intersecteaz˘a AB ˆın P, atunci din asem˘anarea triunghiurilor DMQ s , i MAP avem
MN − CD DM
= , de unde se obt , ine relat , ia de mai sus.
AB − MN AM
Trecem la rezolvarea problemei. Presupunem ordinea E, M, N, D. Not˘am cu M a , N a s , i

D a proiect , iile pe dreapta BC ale punctelor M, N, respectiv D. Analog, not˘am cu M b , N b
proiect , iile pe dreapta AC ale punctelor M, N, iar cu M c , N c s , i D c proiect , iile pe dreapta AB
ale punctelor M, N, respectiv D. Aplicˆand relat , ia de mai sus pentru trapezele MM a D a D s , i
MM c D c D, precum s , i asem˘anarea triunghiurilor MDM b s , i NDN b , aven

MN · DD a + ND · x MN · DD c + ND · z ND · y
u = , w = , v = .
MD MD MD

Cum u = v + w, obt , inem MN · DD a + ND · x = ND · y + MN · DD c + ND · z, de unde rezult˘
a
c˘a MN(DD a − DD c ) = ND(y + z − x) = 0, deci DD a = DD c . Astfel punctul D este egal
dep˘artat de laturile AB s , i BC, deci BD este bisectoarea din B ˆın triuunghiul ABC. Analog se
obt , ine c˘a s , i CE este bisectoare ˆın triuunghiul ABC.

Solut ,ia 2 (Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin). Fie h 1 s , i h 2 distant , ele de la E la
−→
AE [EAC] bh 2 −→ bh 2 · AB
dreptele BC, respectiv AC. Avem = = , deci AE = . Analog, dac˘a
EB [EBC] ah 1 ah 1 + bh 2