Page 103 - MATINF Nr. 9-10

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 103

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU
CONCURSURI

Rezolvarea problemelor pentru liceu din MATINF nr. 7

Clasa a IX-a

a
M 165. Se consider˘ s , irul (x n ) astfel ˆıncˆat x 1 = 1 s , i
n≥1
√ p
√ x n + x n + 4x 2
x n+1 = n , ∀ n ≥ 1.
2

a
Demonstrat ,i c˘ (x n ) este cresc˘ator, nem˘arginit s , i
n≥1
n
X 1 1
< , ∀ n ≥ 1.
x k x k+1 2
k=1
Cristinel Mortici, Viforˆata

√ √ p
Solut ,ie. Prin induct , ie rezult˘a us , or c˘a x n ≥ 1, ∀ n ≥ 1. Avem 2 x n+1 − x n = x n + 4x ,
2
n
√
2
2
deci ridicˆand la p˘atrat obt , inem x n+1 − x = x n x n+1 . Cum x ≥ x n ≥ 1, rezult˘a c˘
a
n n
√
x n+1 − x n ≥ x n x n+1 ≥ 1, ∀ n ≥ 1.
De aici deducem c˘a (x n ) este cresc˘ator s , i c˘a x n ≥ n, ∀ n ≥ 1 (induct , ie), deci (x n ) este
n≥1 n≥1
nem˘arginit. Pentru orice n ≥ 1, folosind inegalitatea de mai sus s , i Inegalitatea mediilor, avem
√ √
1 1 (x n+1 + x n ) (x n+1 − x n ) 2 x n x n+1 · x n x n+1 2
− = ≥ = ,
x 2 n x 2 n+1 x x 2 x x 2 x n x n+1
2
2
n n+1
n n+1
Ç å Å ã
n 1 n 1 1 1 1 1 1
P 1 P
deci ≤ 2 − 2 = 2 − 2 < .
k=1 x k x k+1 2 k=1 x k x k+1 2 x 1 x n+1 2
M 166. Fie d 1 < d 2 < . . . < d k divizorii naturali ai unui num˘ar natural n ≥ 2. Ar˘atat ,i c˘a:
Å ã
d 2 d 3 d k
a) (n − 1) + + . . . + ≥ (k − 1)(n − 1) + d 1 + d 2 + . . . + d k−1 ;
d 1 d 2 d k−1
b) (n − 1) k−1 d k ≥ (n − 1 + d 1 )(n − 1 + d 2 ) · . . . · (n − 1 + d k−1 ).
Mih´aly Bencze, Bras , ov

n n n n
Solut ,ie. Pentru orice i = 1, k − 1 avem, succesiv: d i+1 > d i , > , − ≥ 1,
d i d i+1 d i d i+1
nd i d 2 d 2 i d i+1
i
d i+1 ≥ = d i + ≥ d i + , deci (n − 1) · ≥ n − 1 + d i .
n − d i n − d i n − 1 d i