Page 113 - MATINF Nr. 9-10

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 113

Clasa a XII-a

d 2
M 180. Rezolvat ,i ˆın Z 2021 ecuat ,ia 505x + 1 = 0.
b
b
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
Inmult , ind cu 4, care este inversabil, ecuat , ia dat˘a devine −x + 4 = 0, adic˘a
Solut ,ie. ˆ b 2 b b
Ä ä Ä ä
x − 2 x + 2 = 0. Avem 2021 = 43 · 47 (descompunerea ˆın factori primi).
b
b
b
.
.
Notˆand x = k, unde k ∈ {0, 1, . . . , 2020}, ecuat , ia este echivalent˘a cu (k − 2)(k + 2).2021,
b
a
adic˘
. .
.
.
(k − 2)(k + 2).43 s , i (k − 2)(k + 2).47.
Avem urm˘atoarele cazuri.
Cazul 1. 43 s , i 47 divid k − 2. Atunci k − 2 = M2021, deci k = 2.
Cazul 2. 43 s , i 47 divid k + 2. Atunci k + 2 = M2021, deci k = 2019.
Cazul 3. 43 divide k − 2 s , i 47 divide k + 2. Atunci k = 43a + 2 = 47b − 2, a, b ∈ N. Rezult˘
a
4(b − 1)
c˘ a = b + , deci b = 43c + 1, c ∈ N. Astfel k = M2021 + 45, deci k = 45.
a
43
Cazul 4. 43 divide k + 2 s , i 47 divide k − 2. Atunci k = 43a − 2 = 47b + 2, a, b ∈ N. Rezult˘
a
4(b + 1)
c˘ a = b + , deci b = 43c − 1, c ∈ N. Astfel k = M2021 − 45, deci k = 1976.
a
43
¶ ©
ˆ b “ ‘ ‘
In concluzie, ecuat , ia dat˘a are solut , iile x ∈ 2, 45, 1976, 2019 .
∗
M 181. Pentru n ∈ N , fie x k , k ∈ {1, 2, , . . . , 5n} r˘ad˘acinile complexe ale ecuat ,iei
3
5
x + x + x + 1 n = x.

5n
X 1 9n · 4 n−1 − 1
Ar˘atat ,i c˘ = .
a
n
1 − x k 4 − 1
k=1
Mih´aly Bencze, Bras , ov
5n
n
5
3
Solut ,ie. Fie polinomul f(X) = (X + X + X + 1) − X. Cum f(X) = Q (X − x k ), rezult˘a
k=1
c˘
a
5n n−1
3
5
0
2
4
X 1 f (x) n (x + x + x + 1) (5x + 3x + 1) − 1
= = n ,
3
5
x − x k f(x) (x + x + x + 1) − x
k=1
pentru orice x 6∈ {x 1 , x 2 , . . . , x 5n }.
Cum f(1) 6= 0, luˆand x = 1 obt , inem egalitatea din enunt , .
M 182. Calculat ,i
3x + 2x + 1
Z 2
dx, x ∈ R.
4
2
9x + 3x + 6x + 2
Sorin Ulmeanu, Pites , ti