Page 111 - MATINF Nr. 9-10

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 111

Trecem acum la demonstrat , ia inegalit˘at , ii din enunt , . Aplicˆand ˆın trei rˆanduri (de cˆate
a
a b a + b a
bc
b c
dou˘a ori) inegalitatea de mai sus, obt , inem a = (a ) > > = s , i
b
b
b
a + c a + c (a + b)(a + c)
b c
ab
analoagele b ca > , c > , deci prin ˆınmult , ire obt , inem c˘a
(b + c)(b + a) (c + a)(c + b)
c
a
abc
ab
bc
ca
a · b · c > ,
a
c
b
(a + b)(b + c)(c + a)(a + c)(b + a)(c + b)
inegalitate echivalent˘a cu inegalitatea din enunt , .
n(n − 1)
P
M 179. Fie a 1 , a 2 , . . . , a n > 0, n ≥ 3 astfel ˆıncˆat a i a j > .
1≤i<j≤n 2
2
a) Demonstrat ,i c˘ dac˘ < β ≤ 1, atunci
a
a
n
! β ! 2
n n n
X Y X
2
(n − 1) a + n a i > a i . (∗)
i
i=1 i=1 i=1
2
Å ò
b) Ar˘atat ,i c˘a dac˘a β ∈ −∞, ∪ (1, +∞), atunci inegalitatea (∗) nu este ˆıntotdeauna
n
adev˘arat˘a.
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
n n
Å ã 2
P P 2 P
Solut ,ie. Cum (n − 1) a i ≥ 2n a i a j > n (n − 1), deducem c˘a a i > n.
i=1 1≤i<j≤n i=1
n n
P P 2 2 2
Fie a i = ns, deci s > 1. Not˘am a = n [(n − 1) t + s ], t ≥ 0. Avem
i
i=1 i=1
n n ! β n ! 2 n ! β
X Y X Y
2
(n − 1) a + n a i > a i adic˘ a i > [s − (n − 1) t] [s + (n − 1) t] .
a
i
i=1 i=1 i=1 i=1
n
P
a
a) Este suficient s˘ demonstr˘am urm˘atorul rezultat mai general: dac˘a a i > n, atunci
i=1
n n ! β n ! 2
X Y X
2
(n − 1) a + n a i > a i .
i
i=1 i=1 i=1
s Q
n
Dac˘a t < , atunci a i ≥ (s + t) n−1 [s − (n − 1) t] (deoarece pentru suma fixat˘a
n − 1 i=1
produsul este minim cˆand sunt n − 1 variabile egale, a se vedea, de exemplu, Lema 2 de la pag.
a
26 din MATINF 3/2019). Deci ˆın acest caz este suficient s˘ ar˘at˘am c˘a
(n−1)β 1−β
(s + t) > [s + (n − 1) t] [s − (n − 1) t] .