Page 112 - MATINF Nr. 9-10

˘
112 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

n−1 n−2
Din Inegalitatea lui Bernoulli avem (s + t) ≥ s [s + (n − 1) t], deci

β
(s + t) (n−1)β ≥ s (n−2)β [s + (n − 1) t] .
β
a
Astfel este suficient s˘ ar˘at˘am c˘ s (n−2)β [s + (n − 1) t] > [s + (n − 1) t] [s − (n − 1) t] 1−β , adic˘
a
a
s (n−2)β > [s + (n − 1) t] 1−β [s − (n − 1) t] 1−β .

Cum s 2(1−β) ≥ [s + (n − 1) t] 1−β [s − (n − 1) t] 1−β , r˘amˆane de ar˘tat c˘ s (n−2)β > s 2(1−β) , fapt ce
a
a
a
rezult˘ din s > 1 s , i (n − 2) β > 2 (1 − β).
n
s Å Q ã β
Dac˘ t ≥ , atunci a i > 0 ≥ [s − (n − 1) t] [s + (n − 1) t].
a
n − 1 i=1
Demonstrat , ia este complet˘a.
Å ò
2
b) Fie β ∈ −∞, ∪ (1, ∞), arbitrar fixat.
n
Presupunem prin reducere la absurd c˘a inegalitatea

n n ! β n ! 2
X Y X
2
(n − 1) a + n a i > a i
i
i=1 i=1 i=1
este ˆıntotdeauna adev˘arat˘a.
2 2
Å ò
2
Cazul 1. β ∈ −∞, . Fie a 1 = a 2 = . . . = a n = s > 1. Avem s nβ > s , deci β > ,
n n
contradict , ie.
ã
Å …
n
Cazul 2. β ∈ (1, ∞). Fie s > 1 fixat s , i fie t ∈ 1, .
n − 2
n − (n − 2) t 2
Fie a 1 = a 2 = . . . = a n−1 = st s , i a n = s · .
2t
2
s n (n − 1) n (n − 1)
P
Evident, a i a j = > .
1≤i<j≤n 2 2
Inegalitatea devine

ò
n − (n − 2) t n
ï 2 β−1 Å … ã
2
2 nβ−2 (n−2)β
2t s t > nt − (n − 2) , ∀ t ∈ 1, ,
2 n − 2
deci
ï 2 β−1
n − (n − 2) t 4n − 4
ò
2
2 nβ−2 (n−2)β
0 = lim 2t s t ≥ lim nt − (n − 2) = > 0,
n 2 n n − 2
s s
t% t%
n − 2 n − 2
contradict , ie.
Demonstrat , ia prin reducere la absurd este ˆıncheiat˘a.