Page 106 - MATINF Nr. 9-10

˘
106 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

n Å 1 ã Å n ã
Cum S − ≥ 0, mai trebuie ar˘atat doar c˘a (n − 2) S + ≥ (2n − 1) S − ,
n − 1 n − 1 n − 1
ß ™
n
adic˘a S ≤ 2, adev˘arat. Pentru egalitate trebuie ca S ∈ , 2 . Astfel, conform celor de
n − 1
1
mai sus, egalitatea are loc pentru a 1 = . . . = a n = sau permut˘arile lui (1, 1, 0, . . . , 0).
n − 1
1
a
Deducem c˘ inegalitatea din enunt , devine egalitate pentru x 1 = . . . = x n = sau permut˘arile
n
Å ã
1 1
lui , , 0, . . . , 0 ,
2 2
M 171. Rezolvat ,i ˆın mult ,imea numerelor reale ecuat ,ia

1
55 − 9 x 50
= .
1 x
5 + 9 x 1 + 5
Sorin Ulmeanu, Pites , ti

Solut ,ie (Daniel V˘acaru, Pites , ti; Titu Zvonaru. Com˘anes , ti). Observ˘am c˘a pentru orice x < 0
1
55 − 9 x 50
avem 1 < 11 < x , deci ecuat , ia dat˘a nu are solut , ii negative.
5 + 9 x 1 + 5
1
55 − 9 x
Pentru x > 0, ecuat , ia poate fi scris˘a sub forma f(x) = g(x), unde f (x) = 1 =
5 + 9 x
60 50
−1 este o funct , ie strict cresc˘atoare, iar g (x) = este o funct , ie strict descresc˘atoare.
1 x
5 + 9 x 1 + 5
Rezult˘a c˘a ecuat , ia are cel mult o solut , ie x > 0. Dar f(log 9) = 5 = g(log 9), deci x = log 9
5
5
5
este singura solut , ie a ecuat , iei date.
a
a
M 172. Dac˘ a, b, c, d ∈ (0, 1) sau a, b, c, d ∈ (1, ∞), demonstrat ,i c˘
log b + log c + log d + log a ≥ 8 .
a
d
c
b
c + d d + a a + b b + c a + b + c + d
Dorin M˘arghidanu, Corabia
Solut ,ie (Titu Zvonaru, Com˘anes , ti). Folosind Inegalitatea mediilor, avem

Å ã
log b log c log d log a
(a + b + c + d) a + b + c + d = log b + log c + log d + log a
c + d d + a a + b b + c a b c d
(a + b) log b (b + c) log c (c + d) log d (d + a) log a
+ a + b + c + d
c + d d + a a + b b + c
p
≥ 4 4 log b · log c · log d · log a
b
a
d
c

4 (a + b) log b (b + c) log c (c + d) log d (d + a) log a
d
b
c
a
+ 4 · · ·
c + d d + a a + b b + c
p
= 8 4 log b · log c · log d · log a = 8
a b c d
(deoarece log b · log c · log d · log a = log a = 1). Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a
a b c d a
a = b = c = d.
a
Not˘. Domnul Daniel V˘acaru din Pites , ti a propus o alt˘a rezolvare, folosind Inegalitatea lui
Bergstr¨om.