Page 98 - MATINF Nr. 7

˘
98 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

(1 + xy) (x + y)
Considerˆand termenul generic , ˆıl putem scrie ca
2
2
(1 + x ) (1 + y )
 ‹
3
2
(1 + xy) (x + y) x + y + x y + xy 2 x + y + x + y 3 x y 1 x y
= ≤ = + ≤ + .
2
2
2
2
2
2
(1 + x ) (1 + y ) (1 + x ) (1 + y ) (1 + x ) (1 + y ) 1 + y 2 1 + x 2 2 y x
P 2 P 2 P 3
x y ( x ) (x + y + z) − x
Atunci E(x, y, z) ≤ = .
2xyz 2xyz
Se iau acum valorile (x, y, z) ∈ {(a, b, c) , (r a , r b , r c )} s , i se obt , in, dup˘a calcule, inegalit˘at , ile
din enunt , .
Solut ,ia 2. (Titu Zvonaru, Com˘anes , ti). Dac˘a x, y ≥ 0, aplicˆand Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-
2
2
2
2
2
2
Schwarz, avem (1 + x )(1 + y ) = p (1 + x )(1 + y ) · p (x + 1)(1 + y ) ≥ (1 + xy)(x + y),
deci
(1 + xy)(x + y)
≤ 1.
2
2
(1 + x )(1 + y )
2
2
Folosind aceast˘a inegalitate, deducem c˘a este suficient s˘a demonstr˘am c˘a 12Rr ≤ p + r − 2Rr
la punctul a), respectiv 3r ≤ 2R − r la punctul b). A doua inegalitate rezult˘a imediat din
Inegalitatea lui Euler, 2r ≤ R, iar prima inegalitate se obt , ine folosind s , i Inegalitatea lui Gerretsen,
2
2
2
2
2
2
p ≥ 16Rr − 5r , astfel: p + r − 2Rr ≥ 16Rr − 5r + r − 2Rr ≥ 12Rr + 2r(R − 2r) ≥ 12Rr.
Clasa a X-a
M 127. Fie k un num˘ar real fixat. Determinat ,i mult ,imea

2 2 2 2 2
M k = 2 b + c − a 2 a ≥ b ≥ c ≥ 0, a + b + c = 6, a + b + c = k .
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

2
2
2
2
Solut ,ie. Fie a, b, c cu propriet˘at , ile din definit , ia mult , imii M k . Deoarece a +b +c ≤ (a+b+c) ≤
2
2
2
3(a + b + c ), rezult˘a k ∈ [12, 36], deci pentru k 6∈ [12, 36] avem M k = Ø. Fie acum k ∈ [12, 36].
2
2
Notˆand s = b + c s , i p = bc, avem s = 6 − a s , i s − 2p = k − a , deci b s , i c sunt solut , iile ecuat , iei
k
2
t − (6 − a)t + a − 6a + 18 − = 0, b = t 1 ≥ t 2 = c. Condit , ia t 1 , t 2 ∈ [0, a] este echivalent˘a cu
2
2  ‹
k
2
2
2
∆ ≥ 0, S ∈ [0, 2a], P ≥ 0 s , i P − aS + a ≥ 0, unde ∆ = (6 − a) − 4 a − 6a + 18 − este
2
k
2
determinantul ecuat , iei, S = t 1 + t 2 = 6 − a s , i P = t 1 t 2 = a − 6a + 18 − . Efectuˆand calculele
2
2k k k
2
2
2
obt , inem a ∈ [2, 6], a − 4a + 12 − ≤ 0, a − 6a + 18 − ≥ 0 s , i a − 4a + 6 − ≥ 0, adic˘a
– É É 3 ™ ‚ 2 É ™ – É 6 Œ
2k 2k k k
a ∈ [2, 6], a ∈ 2 − − 8, 2 + − 8 , a ∈ −∞, 3 − − 9 ∪ 3 + − 9, +∞ -
2
‚ 3 É 3 ™ – É Œ 2
k k
pentru k ≤ 18 s , i a ∈ −∞, 2 − − 2 ∪ 2 + − 2, +∞ - pentru k ≥ 18. Astfel, avem
6 6
dou˘a cazuri.