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˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 101

√
A B C A + B + C π 3 3
Inegalit˘at ,ii lui Jensen avem cos + cos + cos ≤ 3 cos = 3 cos = , deci
2 √ 2 2 6 6 2
3 3 p 2 p 2 p 3
este suficient s˘a demonstr˘am c˘a ≤ , adic˘a S ≤ √ , adic˘a (p − a)(p − b)(p − c) ≤ ,
2 2S 3 3 27
inegalitate care este o consecint , ˘a imediat˘a a Inegalit˘at ,ii mediilor.

Ô
b) Deoarece EIF = π + A , aplicˆand Teorema cosinusului ˆın 4EIF avem EF 2 =
2 Ê 2  ‹ Ê  ‹
A A B
2
2
2r + 2r sin , deci EF = r 2 1 + sin . Analog, DF = r 2 1 + sin s , i DE =
Ê  2 ‹ 2 2
C
r 2 1 + sin , deci
2
‚É É É Œ
√ A B C
P DEF = r 2 1 + sin + 1 + sin + 1 + sin .
2 2 2

‚É É É Œ
√ A B C
Inegalitatea din enunt , devine r 2 1 + sin + 1 + sin + 1 + sin ≤ p, adic˘a
É É É 2 2 2 É
A B C p 2 x
1 + sin + 1 + sin + 1 + sin ≤ √ . Dar funct , ia g : (0, π), g(x) = 1 + sin =
É 2 2 2 S 2 2
π − x √ π − x
1 + cos = 2 cos este concav˘a, deci conform Inegalit˘at ,ii lui Jensen avem
É 2 É 4 É É É √
A B C A + B + C π 3 3
1 + sin + 1 + sin + 1 + sin ≤ 3 1 + sin = 3 1 + sin = √ ,
2 2 √ 2 6 6 2
3 3 p 2 p 2
deci este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a √ ≤ √ , adic˘a S ≤ √ , inegalitate demonstrat˘a la
2 S 2 3 3
punctul a).

Solut ,ia 2. (Titu Zvonaru, Com˘anes , ti). Vom folosi urm˘atoarele inegalit˘at , i (a se vedea O. Bottema,
Geometric Inequalities, Groningen, 1969):
√
A B C 3 3 √ √
cos + cos + cos ≤ , a + b + c ≤ 3 3R, p ≥ 3 3r.
2 2 2 2

A
◦
a) Deoarece m (^EIF) = 90 + , avem
2
A B C √
2
2
2
r cos + r cos + r cos 3 3r 2
A DEF = A DIE + A EIF + A FID = 2 2 2 ≤ .
2 4
A ABC pr 4p
Rezult˘a ≥ √ = √ ≥ 4.
A DEF 3 3r 2 3 3r
4
b) Raza cercului circumscris triunghiului DEF fiind r, rezult˘a c˘a
√
a + b + c 2 · 3 3r
P ABC
= ≥ √ = 2.
P DEF DE + EF + FD 3 3r