Page 102 - MATINF Nr. 7

˘
102 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a XI-a

3
2
M 133. Fie a, b, c, d ∈ C s , i A ∈ M n (C) astfel ˆıncˆat A = (a − 1)A + (a + b)A + bI n s , i
3
2
2
4
det (A + I n ) 6= 0. Calculat ,i det (A − 2aA + (a + c + d)A − a(c + d)A + cdI n ).
Marin Chirciu, Pites , ti
2
Solut ,ie. Folosind egalitatea din enunt , avem, succesiv: (A + I n )(A − aA − bI n ) = O n ;
2
2
(A + I n )(A − aA) = b(A + I n ); (A + I n )(A − aA + xI n ) = (b + x)(A + I n ), ∀x ∈ C.
2
n
Cum det(A + I n ) 6= 0, rezult˘a c˘a det(A − aA + xI n ) = (b + x) , ∀x ∈ C. Prin urmare
4
2
2
2
3
2
det (A − 2aA + (a + c + d)A − a(c + d)A + cdI n ) = det ((A − aA + cI n )(A − aA + dI n ))
2
2
n
= det(A − aA + cI n ) · det(A − aA + dI n ) = [(b + c)(b + d)] .
Not˘a. Domnul Daniel V˘acaru din Pites , ti a propus o rezolvare asem˘an˘atoare, bazat˘a pe
2
deducerea s , i utilizarea repetat˘a a relat , iei A = aA + bI n .
∗
M 134. Fie p, q, n ∈ N astfel ˆıncˆat p < q ≤ n + 1 s , i fie a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R \ {0, 1} numere
n
n P a q+k − a p+k
k
∗
distincte dou˘a cˆate dou˘a. Pentru orice k ∈ N not˘am s k = P a s , i t k = i i .
i
i=1 i=1 a i − 1
n
Rezolvat ,i ˆın R sistemul

 s 1 x 1 + s 2 x 2 + . . . + s n x n = t 1


s 2 x 1 + s 3 x 2 + . . . + s n+1 x n = t 2
.
 . . .


s n x 1 + s n+1 x 2 + . . . + s 2n−1 x n = t n
Stelian Corneliu Andronescu , Costel B˘alc˘au, Pites , ti s , i
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
Solut ,ie. Fie A matricea sistemului dat. Definim matricile W, V ∈ M n (R), astfel: linia i a
€ Š T
i
i
matricei W este egal˘a cu (a , . . . , a ) s , i coloana j a matricei V este egal˘a cu a j−1 , . . . , a j−1 ,
1 n  1 ‹ n
n
Q T
unde 1 ≤ i, j ≤ n. S˘a remarc˘am c˘a A = WV . Avem: detA = detW · detV = a k detV ·
 ‹ ‚ Œ k=1
n
Q Q 2 ˆ
detV = a k (a i − a j ) 6= 0. Deci sistemul dat are solut , ie unic˘a. In urma
k=1 1≤i<j≤n
calculelor, obi ,nem relativ facil c˘a t k = s k+p + . . . + s k+q−1 , pentru orice k ∈ {1, . . . , n}.
§
1, dac˘a l ∈ {p + 1, . . . , q}
Cazul 1. q ≤ n. Definim x l = . Evident,
0, dac˘a l ∈ {1, . . . , n} − {p + 1, . . . , q}
(x 1 , . . . , x n ) este solut , ie a sistemului. Sistemul fiind Cramer, solut , ia g˘asit˘a este unic˘a.
n
P P P
Cazul 2. q = n + 1. Not˘am cu u 1 = a i , u 2 = a i a j , u 3 = a i a j a k , . . .,
i=1 1≤i<j≤n 1≤i<j<k≤n
n
Q
u n = a i valorile polinoamelor simetrice fundamentale de variabile a 1 , a 2 , . . . , a n . Pentru orice
i=1
∗
k ∈ N avem s k+n = u 1 s k+n−1 − u 2 s k+n−2 + . . . + (−1) n−1 u n s k .