Page 97 - MATINF Nr. 7

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 97

a i a j a 1 a n
Conform Inegalit˘at ,ii lui Kantorovich, pentru orice 1 ≤ i < j ≤ n avem + ≤ + .
a j a i a n a 1
n (n − 1)
A doua inegalitate din enunt , rezult˘a prin adunarea celor relat , ii de tipul
2
 ‹  ‹
2
2
3a − 2a i a j + 3a 2 3a − 2a i a j + 3a 2 3 1 3 1
i j ≤ i j = a i + a j − ≤ a 1 + a n − .
2
(a i + a j ) 4a i a j 4 a j a i 2 4 a n a 1 2
Not˘a. Domnul Daniel V˘acaru din Pites , ti a propus o rezolvare asem˘an˘atoare, probˆand
a i a j a i a n a 1 a n
Inegalitatea lui Kantorovich ˆın dou˘a etape: + ≤ + ≤ + .
a j a i a n a i a n a 1
M 125. Se consider˘a un cerc de centru O s , i raz˘a R, A un punct exterior cercului s , i B, C, D, E
patru puncte distincte situate pe cerc astfel ˆıncˆat B ∈ (OA), C ∈ (AD), AC = R s , i O ∈ (DE).
Not˘am cu x lungimea segmentului AB.
a) Ar˘atat ,i c˘a 2m (^BCE) = 3m (^BAD).

R
b) Calculat ,i astfel ˆıncˆat 4ADE s˘a fie echilateral.
x
R
c) Calculat ,i astfel ˆıncˆat [AB] ≡ [CD].
x

Thanos Kalogerakis, Grecia

Solut ,ie. a) Fie ϕ = m (^BCE) = m (^BDE) = m (^DBO) s , i θ = m (^BOC) = m (^BAD).
Cum ^DBO este unghi exterior pentru 4ABD, avem ϕ = m (^DBO) = θ + m (^ADB). Dar
m (^BOC) θ 3θ
m (^ADB) = = , deci ϕ = s , i astfel 2m (^BCE) = 3m (^BAD).
2 2 2
b) Dac˘a triunghiul ADE este echilateral, atunci latura sa are lungimea 2R, iar OA fiind
√
√ €√ Š R 3 + 1
ˆın˘alt , imea sa avem OA = R 3. Astfel x = OA − R = R 3 − 1 , deci = .
x 2
c) Dac˘a AB = CD, atunci utilizˆand puterea punctului A ˆın raport cu cercul dat avem
 ‹ 2 √
R R R 1 + 5
2
2
x(x + 2R) = R(R + x), adic˘a R − Rx − x = 0, deci − − 1 = 0 s , i astfel =
x x x 2
(num˘arul de aur).
Not˘a. Domnul Titu Zvonaru din Com˘anes , ti a propus o rezolvare asem˘an˘atoare.

M 126. Demonstrat ,i c˘a ˆın orice triunghi ABC avem:
2
2
(1 + ab)(a + b) (1 + bc)(b + c) (1 + ca)(c + a) p + r − 2Rr
a) + + ≤ ;
2
2
2
(1 + a )(1 + b ) (1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) 4Rr
2
2
2
(1 + r a r b )(r a + r b ) (1 + r b r c )(r b + r c ) (1 + r c r a )(r c + r a ) 2R − r
b) + + ≤ .
2
2
2
2
2
2
(1 + r )(1 + r ) (1 + r )(1 + r ) (1 + r )(1 + r ) r
a
c
a
c
b
b
Mih´aly Bencze, Bras , ov
Solut ,ia 1. (Daniel V˘acaru, Pites , ti). S˘a unific˘am cele dou˘a subpuncte, considerˆand expresia
(1 + xy) (x + y)
X
E (x, y, z) = , x, y, z > 0.
2
2
(1 + x ) (1 + y )