Page 95 - MATINF Nr. 7

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 95

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU
CONCURSURI

Rezolvarea problemelor pentru liceu din MATINF nr. 5

Clasa a IX-a

M 121. Demonstrat ,i c˘a oricum s-ar considera patru puncte ˆın interiorul sau pe conturul
poligonului OABCDE, unde O(0, 0), A(4, 0), B(4, 2), C(2, 2), D(2, 4) s , i E(0, 4), se pot alege
dou˘a, notate M 1 (x 1 , y 1 ) s , i M 2 (x 2 , y 2 ), astfel ˆıncˆat |x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 | ≤ 4.

Cristinel Mortici, Viforˆata

Solut ,ie. Suprafat , a poligonal˘a dat˘a este format˘a din trei p˘atrate de latur˘a 2, deci printre
cele patru puncte date exist˘a dou˘a, fie ele M 1 (x 1 , y 1 ) s , i M 2 (x 2 , y 2 ), situate ˆın interiorul sau pe
conturul unui aceluias , i p˘atrat. Considerˆand punctul K(x 2 , y 1 ), avem

|x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 | = M 1 K + M 2 K ≤ 2 + 2 = 4.

Not˘a. Domnul Titu Zvonaru din Com˘anes , ti a propus o rezolvare asem˘an˘atoare, folosind
√
|x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 | ≤ 2 · M 1 M 2 ≤ 4.

M 122. Fie a, b, c, x, y, z numere reale strict pozitive. Ar˘atat ,i c˘a

1 1 1 a + b + c
x y z + y z x + z x y ≤ .
+ + + + + + x + y + z
a b c a b c a b c

Cˆand are loc egalitatea?

Dorin M˘arghidanu, Corabia

x y z x 2 y 2 z 2
Solut ,ie (Daniel V˘acaru, Pites , ti; Titu Zvonaru, Com˘anes , ti). Avem + + = + + ≥
a b c ax by cz
(x + y + z) 2 1 ax + by + cz
(Inegalitatea lui Bergstrom), deci x y z ≤ . Egalitatea are loc
ax + by + cz + + (x + y + z) 2
a b c
x y z
dac˘a s , i numai dac˘a = = , adic˘a a = b = c. Cu ˆınc˘a dou˘a relat , ii analoage s , i cu sumare,
ax by cz
1 1 1 (ax + by + cz) + (ay + bz + cx) + (az + bx + cy)
g˘asim x y z + y z x + z x y ≤ 2
+ + + + + + (x + y + z)
a b c a b c a b c
(a + b + c)(x + y + z) a + b + c
= = . Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a a = b = c.
(x + y + z) 2 x + y + z