Page 8 - MATINF Nr. 7

8 F. Badea, C. Anghel

Solut , ia punctului a)

◦
Triunghiurile AEB s , i ADF sunt dreptunghice isoscele, deci ^EAB = ^DAF = 45 (vezi
◦
◦
◦
◦
Figura 2). Astfel ^EAF = ^EAB + ^BAD + ^DAF = 45 + 90 + 45 = 180 , deci punctele
E, A s , i F sunt coliniare.
O alt˘a solut , ie este urm˘atoarea: [AC fiind bisectoarea ^BAD, deducem c˘a AE⊥AC s , i
AF⊥AC. T , inˆand cont de faptul c˘a prin punctul A al dreptei AC se poate duce o singur˘a
perpedicular˘a pe AC, rezult˘a c˘a punctele E, A s , i F sunt coliniare.
ˆ
In continuare vom prezenta zece solut , ii pentru punctul b).

Solut , ia 1
√
Not˘am cu O centrul de simetrie al p˘atratului (vezi Figura 3). Avem, succesiv: AE = l 2,
√ √
◦
AB = 2l, AC = BD = 2l 2, OD = l 2. Din ^EAD + ^ADO = 180 rezult˘a c˘a dreptele
AE s , i DO formeaz˘a cu AD dou˘a unghiuri interne de aceeas , i parte a secantei suplementare,
deci AE k DO. Cum AE = DO, rezult˘a c˘a ADOE este paralelogram, deci P este mijlocul
diagonalei [DE].

Preciz˘am c˘a aceasta este s , i solut , ia din baremul de notare elaborat de C.N.E.E.

E E

A B A B
P P
R
O

D C F D C

Figura 3 Figura 4

Solut , ia 2

◦
Patrulaterul AEBO are toate laturile congruente s , i ^AEB = 90 , deci AEBO este p˘atrat, deci
OP k BE s , i cum O este mijlocul lui (BD) deducem c˘a [OP] este linie mijlocie ˆın 4DBE. Prin
urmare P este mijlocul lui [DE].

Solut , ia 3

Ducem DR⊥AF, R ∈ AF (vezi Figura 4). Conform punctului a), E, A s , i F sunt coliniare.
4ADF este dreptunghic isoscel, AD = DF = 2l, deci DR fiind ˆın˘alt , ime este s , i median˘a.
√
AF 2l 2 √
Prin urmare AR = = = l 2, deci AR = AE. Din PA⊥EF s , i DR⊥EF rezult˘a c˘a
2 2
PA k DR. Din AR = AE s , i PA k DR rezult˘a c˘a PA este linie mijlocie ˆın 4EDR, deci P este
mijlocul lui [DE].