Page 12 - MATINF Nr. 7

12 F. Badea, C. Anghel

O problem˘a mai general˘a

Fie ABCD un dreptunghi cu AB = L, AD = l s , i AEB un triunghi isoscel cu vˆarful E situat
de cealalt˘a parte a dreptei AB fat , ˘a de punctele C s , i D. Fie din nou P punctul de intersect , ie al
dreptelor AC s , i DE.
DP
a) S˘a se calculeze valoarea raportului ˆın funct , ie de L, l s , i h, unde h este lungimea
PE
ˆın˘alt , imii din E a triunghiului AEB.

b) S˘a se determine, ˆın funct , ie de L s , i l, lungimea comun˘a a laturilor [EA] s , i [EB] pentru
care punctul P este chiar mijlocul segmentului [DE].

E

A B
M
P
O

D N C

Figura 8

Solut ,ie. Dintre solut , iile de mai sus, vom adapta relativ us , or Solut , ia 5. Fie, din nou,
{O} = AC ∩ BD, M mijlocul lui [AB] s , i N mijlocul lui [CD] (vezi Figura 8).

a) Aplicˆand Teorema lui Menelaus ˆın 4EDN cu transversala P − O − C obt , inem:

l
EP DC NO EP 2 2 DP 2l
· · = 1 ⇒ · · = 1 ⇒ = ,
PD CN OE PD 1 l PE l + 2h
+ h
2
deci raportul cerut nu depinde de L.

b) Folosind rezultatul de la punctul a), rezult˘a c˘a P este mijlocul lui [DE] dac˘a s , i numai
2l l
dac˘a = 1, adic˘a h = .
l + 2h 2
Aplicˆand Teorema lui Pitagora ˆın 4EMA obt , inem:
Ê  ‹ √
2
L 2 L + l 2
2
EA = h + = .
2 2

Bibliografie

[1] https://rocnee.eu/testeantrenament/