Page 9 - MATINF Nr. 7

Asupra unei probleme pentru Evaluarea Nat , ional˘a 9

Solut , ia 4

Fie M s , i N punctele de intersect , ie ale dreptei EO cu AB, respectiv CD (vezi Figura 5).
Se deduce us , or c˘a M s , i N sunt chiar mijloacele segmentelor [AB], respectiv [CD]. Avem
AB 2
EM = OM = ON = = l, deci OE = · EN. Cum EN este median˘a ˆın 4ECD, deducem
2 3
c˘a O este centrul de greutate al 4ECD. Cum O ∈ CP, rezult˘a c˘a s , i CP este median˘a ˆın
4ECD, deci P este mijlocul lui [DE].

E S E

A B A B
M
P P
O

D N C D C

Figura 5 Figura 6

Solut , ia 5

Aplic˘am Teorema lui Menelaus ˆın 4EDN cu transversala P −O −C (vezi Figura 5) s , i obt , inem:

EP DC NO EP 2 1 EP
· · = 1 ⇒ · · = 1 ⇒ = 1 ⇒ EP = PD,
PD CN OE PD 1 2 PD
deci P este mijlocul lui [DE].

Solut , ia 6

Not˘am cu S punctul ˆın care paralela prin E la CD intersecteaz˘a dreapta AC (vezi Figura 6).
◦
◦
◦
◦
Deoarece ^EAC = ^EAB + ^BAC = 45 + 45 = 90 s , i ^AES = ^EAB = 45 (alterne
interne), rezult˘a c˘a 4EAS este dreptunghic isoscel, deci AE = AS s , i ES = 2l = CD. Din
ES k CD s , i ES = CD rezult˘a c˘a ESDC este paralelogram, deci P este mijlocul diagonalei
[DE].

Solut , ia 7

Consider˘am sistemul de axe ortogonale xOy cu originea ˆın centrul O al p˘atratului ABCD s , i cu
axele paralele cu laturile acestui p˘atrat, ca ˆın Figura 7. Avem:
 ‹  ‹  ‹  ‹
l l l l l l l l
A − , , B , , C , − , D − , − , E(0, l).
2 2 2 2 2 2 2 2
Determin˘am ˆıntˆai funct , ia liniar˘a f : R → R, f(x) = ax + b al c˘arei grafic este dreapta AC.
‹

 ‹
l l l l
Avem f − = s , i f = − , de unde obt , inem c˘a b = 0 s , i a = −1, deci f(x) = −x.
2 2 2 2