Page 11 - MATINF Nr. 7

Asupra unei probleme pentru Evaluarea Nat , ional˘a 11

Numerele complexe care au afixele A, C, D s , i E sunt

l(−1 + i) l(1 − i) l(1 + i)
z A = , z C = , z D = − , z E = li.
2 2 2

0
Fie P mijlocul segmentului [DE], deci

z D + z E l(−1 + i)
z P = = .
0
2 4
Avem
0
z P − z A l(1 − i) 2 1 ∗
= · = ∈ R ,
z C − z A 4 l(2 − 2i) 4
0
0
deci punctele A, P s , i C sunt coliniare, adic˘a P ∈ AC.
0
0
Astfel {P } = AC ∩ DE = {P}, deci P = P = mijlocul lui [DE].
O alt˘a solut , ie bazat˘a pe afixe este urm˘atoarea: deoarece

l(1 + i) l(−1 + i)
z D + z E = − + li = = z A = z O + z A ,
2 2

rezult˘a c˘a ODAE este paralelogram, deci P este mijlocul diagonalei [DE].

Solut , ia 10

Consider˘am din nou sistemul de axe ortogonale xOy din Solut , ia 7 (vezi Figura 7).

Determin˘am ecuat , ia dreptei AC:

x y 1

l l
− 1 = 0 ⇔ x + y = 0.

2 2
l l

− 1
2 2
Determin˘am s , i ecuat , ia dreptei DE:

x y 1

l l
− −
1 = 0 ⇔ 3x − y + l = 0.
2 2

0 l 1

§
x + y = 0
Punctul P(x, y) fiind intersect , ia celor dou˘a drepte, obt , inem sistemul ,
 ‹ 3x − y + l = 0
l l l l x D + x E y D + y E
avˆand solut , ia x = − , y = , deci P − , . Astfel avem x P = s , i y P = ,
4 4 4 4 2 2
deci P este mijlocul lui [DE].