Page 10 - MATINF Nr. 7

10 F. Badea, C. Anghel

Determin˘am acum funct , ia liniar˘a g : R → R, g(x) = cx + d al c˘arei grafic este dreapta DE.
‹

l l
Avem g − = − s , i g(0) = l, de unde obt , inem c˘a d = l s , i c = 3, deci g(x) = 3x + l.
2 2
Punctul P(x, y) fiind intersect , ia celor dou˘a drepte, avem f(x) = g(x), de unde obt , inem c˘a
‹

‹

l l l l l
x = − s , i y = f − = , deci P − , .
4 4 4 4 4
Rezult˘a c˘a
x D + x E y D + y E
x P = , y P = ,
2 2
deci P este mijlocul lui [DE].

y

E(0, l)

l
l
l
l
A(− , ) B( , )
2 2 2 2
P
O x
l
l
l
l
D(− , − ) C( , − )
2 2 2 2
Figura 7

Solut , ia 8
¦ −→ −−→ © −−→ −−→ −−→ 1 −−→ 1 −→ −−→ Š
€
Fix˘am reperul vectorial AB, AD . Avem OE = −AD, OD = 2 · BD = 2 BA + BC =
€
1 € −→ −−→ Š −→ 1 −→ 1 −→ −−→ Š
−AB + AD s , i OA = − · AC = − AB + AD , deci
2 2 2
−−→ −−→ −−→ 1 −→ 1 −−→ 1 −→ 1 −−→ −→
OE + OD = −AD − · AB + · AD = − · AB − · AD = OA.
2 2 2 2

Rezult˘a c˘a AEOD este paralelogram, deci P este mijlocul diagonalei [DE].

Aceast˘a solut , ie poate fi rescris˘a s , i folosind coordonatele vectorilor. Astfel, considerˆand
−→ l l
~
~
sistemul de axe ortogonale xOy din Solut , ia 7 (vezi Figura 7), avem OA = − · i + · j,
2 2
−−→ l l −−→
~
~
~
OD = − · i − · j s , i OE = l · j, deci din nou obt , inem c˘a
2 2
−−→ −−→ l l l l −→
~
~
~
~
~
OE + OD = l · j − · i − · j = − · i + · j = OA.
2 2 2 2
Solut , ia 9
Consider˘am din nou sistemul de axe ortogonale xOy din Solut , ia 7 (vezi Figura 7).