Page 24 - MATINF Nr. 7

24 M. Chirciu

2
2
2
(16R − 5r) (3R − 4r) + (6R − 29Rr − 20r ) ≥ 0⇔54R − 108Rr ≥ 0⇔R ≥ 2r (Euler).
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
Inegalitatea poate fi ˆınt˘arit˘a astfel:
√
X r b + r c R
ˆ
Aplicat , ia 2. In orice ∆ABC avem: p ≤ 3 2 · .
2
h + h 2 2r
b b
Marin Chirciu, Pites , ti

Solut ,ie. Avem:

(∗) √
X X √ X R
r b + r c r b + r c r b + r c
≤ È = 2 ≤ 3 2 · ,
p 2
2
h + h 2 (h b +h c) h b + h c 2r
b b
2
2
2
2
2
P r b + r c R Lema 1 R (p + 5r + 8Rr) R p + 5r + 8Rr 3
unde (∗) ⇔ ≤ 3 · ⇐⇒ ≤ 3 · ⇔ ≤ ⇔
2
2
2
2
h b + h c 2r r (p + r + 2Rr) 2r p + r + 2Rr 2
2
2
2
2
2
2
2 (p + 5r + 8Rr) ≤ 3 (p + r + 2Rr) ⇔ p ≥ 10Rr + 7r , deci folosind din nou Inegalitatea
2
2
lui Gerretsen p ≥ 16Rr − 5r este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a:
2
2
16Rr − 5r ≥ 10Rr + 7r ⇔ R ≥ 2r (Euler).
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
Astfel, obt , inem urm˘atoarele inegalit˘at , i:
 ‹
√ √ 2
X r b + r c R R
ˆ
Aplicat , ia 3. In orice ∆ABC avem: p ≤ 3 2 · ≤ 3 2 .
2
h + h 2 b 2r 2r
b
Marin Chirciu, Pites , ti
Solut ,ie. Prima inegalitate este chiar Aplicat , ia 2, iar a doua inegalitate rezult˘a imediat din
Inegalitatea lui Euler R ≥ 2r. Egalit˘at , ile au loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
S˘a schimb˘am acum ˆıntre ele r a cu h a . Folosim urm˘atorul rezultat.
2 (R + r)
X h b + h c
ˆ
Lema 2. In orice ∆ABC avem: = .
r b + r c R
S 2S
Demonstrat¸ie. Folosind r a = s , i h a = obt , inem:
p − a a
2S 2S
X X + 2 X 2 2 (R + r)
h b + h c b c
= = (b + c) (p − b) (p − c) = ·4pr (R + r) = .
S S
r b + r c + abc 4Rrp R
p−b p−c
 ‹
√ R 2
X
ˆ
h b + h c
Aplicat , ia 4. In orice ∆ABC avem: p ≤ 3 2 .
2
r + r 2 2r
b b
Marin Chirciu, Pites , ti