Page 27 - MATINF Nr. 7

ˆ
In leg˘atur˘a cu Problema M 115

Leonard Mihai Giugiuc 1

ˆ
In num˘arul 4 al revistei MATINF (vezi [1]), autorul a propus, ˆın regim semideschis,
urm˘atoarea problem˘a (M 115):

Fie a, b, c, d ≥ 0 astfel ˆıncˆat a + b + c + d = 4.
 ‹ 2
abc + abd + acd + bcd 3
2
2
2
2
a) Ar˘atat ,i c˘a a + b + c + d + 8 ≥ 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd).
4
Cˆand are loc egalitatea?
2
b)* (problem˘a deschis˘a) Exist˘a k > astfel ˆıncˆat inegalitatea
3
 ‹
abc + abd + acd + bcd k
2
2
2
2
a + b + c + d + 8 ≥ 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
4
ˆ
s˘a fie adev˘arat˘a pentru orice numere a, b, c, d care ˆındeplinesc condit ,iile date? In caz afirmativ,
determinat ,i valorile lui k.
ˆ
In [2] este prezentat˘a solut , ia dat˘a de autor pentru prima cerint , ˘a, deci nu vom insista asupra
ˆ
ei. In continuare vom demonstra problema deschis˘a, iar la final vom propune spre rezolvare o
problem˘a de aceeas , i factur˘a, ˆın scopul consolid˘arii de c˘atre cititori a not , iunilor s , i tehnicilor care
apar ˆın urma acestui demers.
4
Vom p˘astra notat , iile s , i cazurile din [2]. Pentru a = b = c = s , i d = 0, avem:
3
 ‹ k  ‹  ‹
16 2 16 2 ln 3 − ln 2
≥ ⇔ kln ≥ ln ⇔ k (ln 27 − ln 16) ≤ ln 3 − ln 2 ⇔ k ≤ .
27 3 27 3 ln 27 − ln 16

ln 3 − ln 2
Demonstr˘am ˆıntˆai c˘a inegalitatea este adev˘arat˘a pentru k = . S˘a remarc˘am c˘a
ln 27 − ln 16
2
< k < 1 s , i c˘a, pe lˆang˘a cazurile de egalitate ment , ionate ˆın [2], mai apar cel put , in urm˘atoarele
3  ‹
4 4 4
cazuri: , , , 0 s , i permut˘arile acestora.
3 3 3
• ˜
1 2k k
2
Cazul 1. t ∈ 0, . Avem de ar˘atat c˘a f(t) ≥ 0, unde f (t) = (t + 1) (1 − 2t) + 3t − 1.
3
– ™ • ˜
(t + 1) 2k−1 1
0
Avem f (t) = 6t −k · + 1 , pentru orice t ∈ 0, . S˘a remarc˘am c˘a funct , ia
(1 − 2t) 1−k 3
2k−1 • ˜
(t + 1) 1
ϕ (t) = −k · + 1 este strict descresc˘atoare pe intervalul 0, . De aici deducem c˘a
(1 − 2t) 1−k 3
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Traian”, Drobeta Turnu Severin, leonardgiugiuc@yahoo.com

27