Page 26 - MATINF Nr. 7

26 M. Chirciu

Solut ,ie. Prima inegalitate este chiar Aplicat , ia 6, iar celelalte dou˘a inegalit˘at , i rezult˘a imediat din
Inegalitatea lui Euler R ≥ 2r. Egalit˘at , ile au loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.

P h b + h c P r b + r c
La final, stabilim o inegalitate ˆıntre sumele s , i .
r b + r c h b + h c
ˆ
Aplicat , ia 8. In orice ∆ABC avem: X h b + h c ≤ X r b + r c .
r b + r c h b + h c
Marin Chirciu, Pites , ti

Solut ,ie. Folosind lemele de mai sus, inegalitatea se scrie:
2
2
2 (R + r) R (p + 5r + 8Rr)
2
2
2
2
≤ ⇔ 2r (R + r) p + r + 2Rr ≤ R 2 p + 5r + 8Rr ⇔
2
2
R r (p + r + 2Rr)
2
3
2
2
p 2 R − 2Rr − 2r 2 + r 8R + R r − 6Rr − 2r 3 ≥ 0.
Distingem cazurile:
2
2
Cazul 1. Dac˘a R −2Rr−2r ≥ 0, atunci inegalitatea este evident˘a, deoarece din Inegalitatea
3
3
2
2
lui Euler R ≥ 2r, avem 8R + R r − 6Rr − 2r > 0.
2
2
Cazul 2. Dac˘a R − 2Rr − 2r < 0, atunci inegalitatea se rescrie:
2
2
2
3
r 8R + R r − 6Rr − 2r 3 ≥ p 2 2r + 2Rr − R 2 ,
2
2
2
deci folosind Inegalitatea lui Gerretsen p ≤ 4R + 4Rr + 3r este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a:
2
3
2
2
2
r 8R + R r − 6Rr − 2r 3 ≥ 4R + 4Rr + 3r 2 2r + 2Rr − R 2
2 2
2
4
3
3
4
2
3
⇔ R + R r − 3R r − 5Rr − 2r ≥ 0 ⇔ (R − 2r) R + 3R r + 3Rr + r 3 ≥ 0
3
⇔ (R − 2r) (R + r) ≥ 0,
care rezult˘a din R ≥ 2r (Euler).
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
Bibliografie
[1] G. Apostolopoulos, Problem B84, Crux Mathematicorum, Vol. 47 (2021), No. 6.
[2] O. Bottema, R.Z. Djordjevic, R.R. Janic, D.S. Mitrinovic, P.M. Vasic, Geometric Inequalities,
Wolters-Noordhoff, Groningen, 1969.
[3] M. Chirciu, Inegalit˘at , i cu laturi s , i raze ˆın triunghi, de la init , iere la performant , ˘a, Editura
Paralela 45, Pites , ti, 2017.
[4] M. Chirciu, Inegalit˘at , i cu linii importante ˆın triunghi, de la init , iere la performant , ˘a, Editura
Paralela 45, Pites , ti, 2018.
[5] M. Chirciu, Inegalit˘at , i algebrice, de la init , iere la performant , ˘a, Editura Paralela 45, Pites , ti,
2021.
[6] M. Chirciu, Inegalit˘at , i geometrice, de la init , iere la performant , ˘a, Editura Paralela 45, Pites , ti,
2021.