Page 20 - MATINF Nr. 7

20 M.F. Dumitrescu

Astfel obt , inem MZ = z − BM = z − OB cos B = z − rctg B s , i, analog, NY = y − rctg C.

Prin urmare, avem

tg B + tg C
ZY = ZT + TY = MZ + NY = y + z − r (ctg B + ctg C) = y + z − r ·
tg Btg C
sin (B + C) cos B cos C sin A
= y + z − r · · = y + z − r ·
cos B cos C sin B sin C sin B sin C
bc sin A
= y + z − · sin A ·
b + c b c
· sin A · · sin A
a a
a 2
= y + z − .
b + c

Aplicˆand Teorema cosinusului ˆın triunghiurile ABC, respectiv AZY , avem:
 2 ‹ 2
2
2
(c − z) + (b − y) − y + z − a
2
2
b + c − a 2 b + c
cos A = , respectiv cos A = .
2bc 2 (c − z) (b − y)
Obt , inem c˘a
 2 ‹ 2
2
2
(c − z) + (b − y) − y + z − a
2
2
b + c − a 2 b + c
=
2bc 2 (c − z) (b − y)
 2 ‹ 2
2
[(b + c) − (y + z)] − 2 (c − z) (b − y) − y + z − a
2
(b + c) − 2bc − a 2 b + c
⇔ =
2bc 2 (c − z) (b − y)
 2 ‹ 2
2
[(b + c) − (y + z)] − y + z − a
2
(b + c) − a 2 b + c
⇔ =
bc (c − z) (b − y)
• ˜
2 2 2
(b + c) − a a
2
(b + c) − a 2 b + c · b + c + b + c − 2 (y + z)
⇔ =
bc (c − z) (b − y)
a 2
b + c + − 2 (y + z)
1 b + c
⇔ =
bc (b + c) (c − z) (b − y)
” —
2
2
2
⇔ (b + c) (c − z) (b − y) = bc (b + c) + a − 2 (y + z) (b + c)
” —
2
2
2
⇔ (b + c) [bc − (cy + bz) + yz] = bc (b + c) + a − 2 (y + z) (b + c)
2 2 2
⇔ (b + c) yz = a bc + (b + c) (cy + bz) − 2bc (y + z) (b + c)
2
2
2
2
⇔ (b + c) yz = a bc + b + 2bc + c 2 (cy + bz) − (y + z) 2b c + 2bc 2
2 2 3 3 2 2
⇔ (b + c) yz = a bc + b z + c y − b cy − bc z
2 2 2 2
⇔ (b + c) yz = b − c (bz − cy) + a bc.