Page 21 - MATINF Nr. 7

Trei aplicat , ii ale Teoremei cosinusului 21

Aplicat , ia 2. Existˇa un punct M situat ˆın interiorul unui triunghi ABC, altul decˆat cel echila-
teral, cu MA = x, MB = y, MC = z, astfel ˆıncˆat:
È È È
2 2 2 2 2 2
(y + z) − a + (z + x) − b + (x + y) − c = x + y + z ?

Leonard Giugiuc s , i Kadir Altintas

Solut ,ie.

Considerˇam un triunghi isoscel ABC,
AB = AC avˆand ^BAC cu mˇasura mai
◦
micˇa decˆat 60 s , i alegem un punct M interior
triunghiului ABC, astfel ˆıncˆat a = y = z
◦
s , i ^AMB = ^AMC = 150 , ca ˆın figura
al˘aturat˘a.

Aplicˆand Teorema cosinusului ˆın triunghiul AMC, avem
√
2
2
2
b = a + x + 3ax.
ˆ
Inlocuim ˆın egalitatea doritˇa, t , inˆand cont cˇa b = c:
√ q € √ Š •q € √ Š √ ˜ 2
3a + 2 ax 2 − 3 = 2a + x, adic˘a a 2 − 3 − x = 0.

€ √ Š p √
Se obt , ine x = a 2 − 3 s , i astfel b = a 5 − 2 3.

Aplicat , ia 3 ( Problema B61 din Crux Mathematicorum, Vol 46, No. 10 (Dec. 2020)). Fie
a, b, c numere reale pozitive. Demonstrat , i inegalitatea
√ √ √
2 2
2
2
2 2
2
2
a c − abc + b + b c − abc + a ≥ a + ab + b .
Cˆand are loc egalitatea?
Leonard Giugiuc
√ √
2 2
2
Solut ,ie. Cazul 1. a = b. Atunci inegalitatea din enunt , devine 2 a c − a c + a ≥ 3a , adic˘a
2
2
√
√ 3 1
2
c − c + 1 ≥ , inegalitate evident adevˇaratˇa. Egalitatea are loc numai pentru c = .
2 2
Cazul 2. a 6= b. Fˇarˇa a restrˆange generalitatea, presupunem c˘a a < b. Considerˇam un
◦
triunghi ABC cu ^ACB = 120 , BC = a s , i AC = b, ca ˆın figurile de mai jos.
Aplicˆand Teorema cosinusului obt , inem
√
2
2
AB = a + ab + b .
Fie [CP bisectoarea unghiului ACB, P ∈ (AB). Aplicˆand Formula lungimii bisectoarei ˆıntr-un
triunghi,
4ab
2
CP = 2 · p (p − AB) ,
(a + b)