Page 25 - MATINF Nr. 7

Asupra Problemei B84 din Crux Mathematicorum 25

Solut ,ie. Avem:

 ‹
(∗) √ 2
h b + h c h b + h c h b + h c
X X √ X R
≤ È = 2 ≤ 3 2 ,
p 2 2 2
r + r (r b +r c) r b + r c 2r
b
b
2
 ‹ 2  ‹ 2
P h b + h c R Lema 2 2 (R + r) R 2 (R + r) 3R 2
3
unde (∗) ⇔ ≤ 3 ⇐⇒ ≤ 3 ⇔ ≤ ⇔ 3R ≥
r b + r c 2r R 2r R 4r 2
2
2
3
3
2
2
8r (R + r) ⇔ 3R − 8Rr − 8r ≥ 0 ⇔(R − 2r) (3R + 6Rr + 4r ) ≥ 0, evident din R ≥ 2r
(Euler). Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
S , i aceast˘a inegalitate poate fi ˆınt˘arit˘a:
√
X h b + h c R
ˆ
Aplicat , ia 5. In orice ∆ABC avem: p ≤ 3 2 · .
2
r + r 2 2r
b
b
Marin Chirciu, Pites , ti
Solut ,ie. Avem:
(∗) √
X X √ X R
h b + h c h b + h c h b + h c
≤ È = 2 ≤ 3 2 · ,
p 2 2 2
r + r (r b +r c) r b + r c 2r
b b
2
P h b + h c R Lema 2 2 (R + r) 3R
2
2
2
unde (∗) ⇔ ≤ 3· ⇐⇒ ≤ ⇔ 3R ≥ 4r (R + r) ⇔ 3R −4Rr−4r ≥
r b + r c 2r R 2r
0 ⇔ (R − 2r) (3R + 2r) ≥ 0, evident din R ≥ 2r (Euler).
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
Mai mult, s , i aceast˘a inegalitate poate fi ˆınt˘arit˘a:
√
X h b + h c
ˆ
Aplicat , ia 6. In orice ∆ABC avem: p ≤ 3 2.
2
r + r 2
b
b
Marin Chirciu, Pites , ti
Solut ,ie. Avem:
(∗) √
h b + h c h b + h c h b + h c
X X √ X
≤ È = 2 ≤ 3 2,
p 2 2 2
r + r (r b +r c) r b + r c
b b
2
P h b + h c Lema 2 2 (R + r)
unde (∗) ⇔ ≤ 3 ⇐⇒ ≤ 3 ⇔2 (R + r) ≤ 3R ⇔R ≥ 2r (Euler).
r b + r c R
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
Astfel, obt , inem urm˘atoarele inegalit˘at , i:
 ‹
√ √ √ 2
X h b + h c R R
ˆ
Aplicat , ia 7. In orice ∆ABC avem: p ≤ 3 2 ≤ 3 2 · ≤ 3 2 .
2
r + r 2 2r 2r
b b
Marin Chirciu, Pites , ti