Page 19 - MATINF Nr. 7

Trei aplicatii ale Teoremei cosinusului 1
,

Mihai Florea Dumitrescu 2

Teorema cosinusului, al c˘arei enunt , binecunoscut afirm˘a c˘a ˆıntr-un triunghi oarecare p˘atratul
unei laturi este egal cu suma p˘atratelor celorlalte dou˘a laturi minus de dou˘a ori produsul lor
multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele, este un rezultat de baz˘a ˆın obt , inerea s , i demonstrarea
identit˘at , ilor s , i inegalit˘at , ilor geometrice s , i trigonometrice, dar s , i a unor inegalit˘at , i algebrice ˆın
√
care aparit , ia unor termeni de forma a + kab + b sugereaz˘a construirea unor triunghiuri ˆın
2
2
√
2
2
care aces , ti termeni s˘a fie lungimi de laturi. De exemplu, un termen de forma a − ab + b este
lungimea laturii unui triunghi ˆın care celelalte dou˘a laturi au lungimile a, respectiv b (a, b > 0)
◦
s , i formeaz˘a un unghi avˆand m˘asura de 60 .
ˆ
In continuare vom prezenta trei aplicat , ii care exemplific˘a aceste posibilit˘at , i de utilizare a
Teoremei cosinusului.
ˆ
Aplicat , ia 1 ( Problema MGO 145 din RMGO, anul IV, nr. 1, 2020). In triunghiul ABC se
ˆınscrie un semicerc care are centrul pe latura BC s , i este tangent la laturile AB s , i AC. Se
consider˘a punctele Y ∈ [AC] s , i Z ∈ [AB] astfel ˆıncˆat dreapta Y Z s˘a fie tangent˘a la semicerc.
Fie CY = y s , i BZ = z. Demonstrat ,i c˘a

2
2
2
(b + c) yz = b − c 2 (bz − cy) + a bc.
Francisco Javier Garc´ıa Capit´an

Solut ,ie.
Notˇam cu M, N s , i T punctele de tangent , ˇa
ale semicercului la dreptele AB, AC, respec-
tiv Y Z, ca ˆın figura al˘aturat˘a. Notˇam s , i
OM = r, unde O este centrul cercului.

Evident, avem OM⊥AB s , i ON⊥AC.
bc sin A r · b r · c
Deoarece A [ABC] = A [AOB] + A [AOC], rezult˘a c˘a = + , deci
2 2 2

bc
r = · sin A.
b + c

Avem BM = OB cos B = OMctg B s , i CN = OC cos C = ONctg C.
1
Acest articol a fost comunicat la Simpozionul Judet , ean de Matematic˘a ,,Marinescu-Ghemeci Octavian”,
Edit , ia I, Potcoava, 8 mai 2021.
2
Profesor, Liceul ,,S , tefan Diaconescu”, Potcoava, florin14mihai@yahoo.com

19