Page 22 - MATINF Nr. 7

22 M.F. Dumitrescu

2
a + b + AB (a + b) − AB 2 ab
unde p = , deci p (p − AB) = = , rezultˇa c˘a
2 4 4
ab
CP = .
a + b
Fie punctele M s , i N pe semidreapta (CP astfel ˆıncˆat CM = ac s , i CN = bc, deci CM < CN.
Aplicˆand Teorema cosinusului ˆın triunghiurile ACM, respectiv BCN obt , inem
√ √
AM = a c − abc + b , respectiv BN = b c − abc + a .
2
2 2
2
2 2
Din a < b rezult˘a ^BAC < ^ABC, deci ^BPC < ^APC. Astfel ^APC este obtuz.
Deosebim subcazurile:

a) CP ≤ CM (vezi figura al˘aturat˘a),
b
adic˘a c ≥ . Atunci ^BPN este ob-
a + b
tuz. Dar ^BMN = ^BPN + ^PBM, deci
s , i ^BMN este obtuz, de unde BN > BM.
Astfel AM + BN > AM + BM ≥ AB.

b) CM < CP < CN (vezi figura
a b
al˘aturat˘a), adic˘a < c < . Acum
a + b a + b
unghiurile ^APM s , i ^BPN sunt congruente
s , i obtuze, deci AM > AP s , i BN > BP. Ast-
fel AM + BN > AP + BP = AB.
c) CP ≥ CN (vezi figura al˘aturat˘a), adic˘a
a
c ≤ . Acum ^APM este obtuz. Dar
a + b
^ANM = ^APM +^PAN, deci s , i ^ANM
este obtuz, de unde AM > AN. Astfel
AM + BN > AN + BN ≥ AB.

ˆ
In fiecare dintre cele trei subcazuri am obt , inut c˘a
AM + BN > AB.

adic˘a are loc inegalitatea din enunt , , chiar strict˘a!

Demonstrat , ia inegalit˘at , ii este astfel ˆıncheiat˘a, iar egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a a = b
1
s , i c = .
2

Bibliografie

[1] L. Giugiuc, Problem B61, Crux Mathematicorum, Vol. 46 (2020), No. 10.

[2] F.J. Garc´ıa Capit´an, Problema MGO 145, RMGO, anul IV (2020), nr. 1.