Page 88 - MATINF Nr. 6

˘
88 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

xx X yy X
Cazul 2. X = Y , adic˘a t 1 = t 2 . Tangenta ˆın X la H are ecuat , ia − = 1, deci panta
a 2 b 2
sa este
t 1 + t 2
b 2 x X b cosh t 1 b cosh
m = · = · = · 2 .
a 2 y X a sinh t 1 a t 1 + t 2
sinh
2
Continuˆand ca la Cazul 1 rezult˘a din nou c˘a Z = X ∗ Y .

Considerˆand biject , ia f : R → H, f(t) = X(a cosh t, b sinh t), conform Teoremei de transport
de structur˘a din (1) rezult˘a c˘a (H, ∗) este un grup abelian izomorf cu (R, +).

M 117. Fie a 1 , a 3 , a 5 , . . . , a 2019 ∈ Z 17 . Ar˘atat ,i c˘a ecuat ,ia

2019
€ 5 Š 7
3
. . . (x + a 1 ) + a 3 + a 5 + a 7 . . . + a 2019 = 0
b
are o unic˘a solut ,ie ˆın Z 17 .

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

Solut ,ie. Ecuat , ia dat˘a poate fi scris˘a sub forma (f 2019 ◦ f 2017 ◦ . . . ◦ f 3 ◦ f 1 )(x) = 0, unde
b
k
f k : Z 17 → Z 17 , f k (x) = x + a k , pentru orice k ∈ {1, 3, . . . , 2019}.
Demonstr˘am c˘a funct , ia f k este bijectiv˘a, pentru orice k ∈ {1, 3, . . . , 2019}. Fie x, y ∈ Z 17 cu
k
k
k
f k (x) = f k (y), adic˘a x = y . Dac˘a x = 0 rezult˘a c˘a y = 0, deci s , i y = 0 (Z 17 nu are divizori ai
b
b
b
−1 k
lui zero). Analog, dac˘a y = 0 rezult˘a c˘a x = 0. Fie acum x, y 6= 0. Atunci (xy ) = 1. Cum
b
b
b
b
∗ −1
orice t ∈ Z 17 are ordinul un divizor al lui 16 iar k este impar, rezult˘a c˘a xy = 1, deci x = y.
b
Astfel funct , ia f k este injectiv˘a. Avˆand atˆat drept domeniu cˆat s , i codomeniu mult , imea finit˘a
Z 17 , rezult˘a c˘a f k este bijectiv˘a. Prin urmare funct , ia f 2019 ◦ f 2017 ◦ . . . ◦ f 3 ◦ f 1 este bijectiv˘a,
deci ecuat , ia dat˘a are solut , ie unic˘a.
√

 a + b + c + d = 2 + 6 3
4
M 118. Rezolvat ,i ˆın R sistemul ab + ac + ad + bc + bd + cd = 24 .
+
abcd = 4

Sladjan Stankovik, Macedonia de Nord
Solut ,ie (Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin). Vom utiliza urm˘atorul rezultat ce se
demonstreaz˘a analog Lemei 1 de la pag. 26 din MATINF 3/2019, fiind o dual˘a a acesteia.
2
t + 1
Lem˘a. Fie k > 0 s , i t ∈ (0, 1] numere fixate s , i fie a, b, c, d > 0 astfelˆıncˆat a+b+c+d = 2k·
t
2
4 2
2
s , i ab + bc + cd + da + ac + bd = 6k . Atunci max (abcd) = k t (2 − t ) s , i acest maxim se atinge
2 − t
 2 ‹
ˆın kt, kt, kt, k · s , i permut˘arile sale.
t
√
2
t + 1 √ 3 − 1
2
Pentru 6k = 24 s , i 2k· = 2+6 3, adic˘a k = 2 s , i t = , rezult˘a c˘a max (abcd) = 4
€√ √ t √ √ Š 2
ˆ
s , i se atinge ˆın 3 − 1, 3 − 1, 3 − 1, 3 3 + 5 s , i permut˘arile sale. In concluzie, acestea sunt
solut , iile sistemului dat.