Page 87 - MATINF Nr. 6

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 87


 2α + β = 4
• ˜
1 1
2
2
2
Cazul 2. t ∈ , √ . Rezolv˘am sistemul 2α + β = 4(3t + 1) s , i obt , inem c˘a
3 3
α ≥ β ≥ 0

p p
2
2
4 + 2(9t − 1) 4 − 2 2(9t − 1)
α = , β = . Conform Lemei 2, este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a
3 3
√ p √ p β
3
2
3
2
2
2
3
2α + β + 2 4 · 3 α β ≥ 2α + 4αβ, adic˘a β + 2 4 · 3 α β ≥ 4αβ. Notˆand = x ∈ [0, 1],
4 2
4 2
√ √ α
3
4
6
3
4
2
3
ultima inegalitate devine x +2 4x ≥ 4x , adic˘a x +2 4 ≥ 4x, adev˘arat, deoarece x +3 ≥ 4x
√
3
(din Inegalitatea mediilor) s , i 2 4 > 3.
• ˜
1
2
Cazul 3. t ∈ √ , 1 . Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a 16 ≥ 24(1 − t ), evident adev˘arat.
3
Remarc˘am c˘a egalitatea are loc pentru (1, 1, 1, 1) sau (2, 2, 0, 0) s , i permut˘arile sale.
Nota redact , iei. Pentru punctul b) nu am primit, deocamdat˘a, solut , ii corecte, deci problema
r˘amˆane ˆın continuare deschis˘a.
Clasa a XII-a
M 116. Fie H o ramur˘a a unei hiperbole, cu vˆarful in A. Fie X, Y ∈ H. Dac˘a X 6= Y , definim
X ∗ Y = Z, unde Z este al doilea punct de intersect ,ie cu H al paralelei duse prin A la XY , iar
dac˘a X = Y definim X ∗ Y = Z, unde Z este al doilea punct de intersect ,ie cu H al paralelei
duse prin A la tangenta ˆın X la H. Demonstrat ,i c˘a (H, ∗) este grup abelian.
* * *
Solut ,ie (Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin). Fie
x y
§ 2 2 ª

H = X(x, y) x, y ∈ R, x > 0 s , i − = 1 = {X(a cosh t, b sinh t) | t ∈ R} ,

a 2 b 2
unde a s , i b sunt numere reale pozitive fixate. Evident, A(a, 0) = A(a cosh 0, b sinh 0).
Demonstr˘am c˘a pentru orice t 1 , t 2 ∈ R avem

X(a cosh t 1 , b sinh t 1 ) ∗ Y (a cosh t 2 , b sinh t 2 ) = Z(a cosh(t 1 + t 2 ), b sinh(t 1 + t 2 )), (1).

Cazul 1. X 6= Y , adic˘a t 1 6= t 2 . Panta dreptei XY este

t 1 − t 2 t 1 + t 2 t 1 + t 2
2 sinh cosh cosh
b(sinh t 1 − sinh t 2 ) b 2 2 b 2
m XY = = · = · ,
a(cosh t 1 − cosh t 2 ) a t 1 − t 2 t 1 + t 2 a t 1 + t 2
2 sinh sinh sinh
2 2 2
t 1 + t 2
deci paralela d dus˘a prin A la XY are ecuat , ia y − 0 = m XY (x − a), adic˘a ay sinh =
2
t 1 + t 2
b(x − a) cosh . Se verific˘a us , or c˘a Z ∈ d. Cum A, Z ∈ d s , i orice dreapt˘a intersecteaz˘a H
2
ˆın cel mult dou˘a puncte, deducem c˘a Z = X ∗ Y .