Page 91 - MATINF Nr. 6

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 91

Probleme propuse pentru liceu

Clasa a IX-a

M 145. Demonstrat , i c˘a dac˘a

1 1 m
∗
1 + + . . . + = , m, n ∈ N ,
2 99 n
atunci 6m − 11n se divide cu 103.

Cristinel Mortici, Viforˆata

M 146. Ar˘atat , i c˘a pentru orice numere reale a, b, c s , i d avem

4

4
1 + a 4 1 + b 4 1 + c 4 1 + d 4 ≥ max (ab + cd) , (ac + bd) , (ad + bc) 4 .
Dorin M˘arghidanu, Corabia

M 147. Determinat , i valorile reale pozitive ale lui p pentru care inegalitatea
√ √ √
a + b + c ≥ 3

2
are loc pentru orice a, b, c ≥ 0 astfel ˆıncˆat a ≤ b ≤ c, a + b + c = ab + bc + ca > 0 s , i bc = p .

Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

M 148. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = a, AD = b, a > b s , i fie punctele M ∈ (BC) s , i
N ∈ (CD) astfel ˆıncˆat BM = mb s , i DN = na, m, n ∈ (0, 1).
a) Demonstrat , i c˘a [AC este bisectoarea unghiului MAN dac˘a s , i numai dac˘a are loc egalitatea

 2 ‹  2 ‹  2 2 ‹ 2
2a 2b a + b
− m + n = .
2
2
2
a − b 2 a − b 2 a − b 2
b) Pentru a = 28 s , i b = 21, ar˘atat , i c˘a nu exist˘a M ∈ (BC) s , i N ∈ (CD) astfel ˆıncˆat
segmentele CM s , i CN s˘a aib˘a lungimile numere naturale s , i [AC s˘a fie bisectoarea unghiului
MAN.

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

M 149. Demonstrat , i c˘a ˆın orice triunghi ABC avem
√  ‹ 2
€ 2 2 2 Š 1 1 1 9 OG
a + b + c + 4S 3 + + + · ≥ 18.
a 2 b 2 c 2 2 R 2

Nguyen Van Huyen, Vietnam